¿Cuál es la medida del ∡EAD∡EAD\measuredangle EAD donde EEE está fuera del cuadrado ABCDABCDABCD?

Dibujar$AJ \parallel CE$tal que$AJ = CE$. Usar simetría sobre diagonal$AC$.

$\triangle ACE$es un triángulo rectángulo bien conocido con lados perpendiculares en la razón$1:2$. los angulos son$26.5^\circ$y$63.5^\circ$.

Entonces,$\angle EAD = \angle 63.5^\circ - 45^\circ = 18.5^\circ$

Aquí hay otra observación. Puntos$A, B, J, C, D$y$E$son todas concíclicas con centro en$O$.

Aquí hay un diagrama completo con$9$cuadrícula.

Claramente, los triángulos$DGC$y$DEA$son iguales, ya que están relacionados por un$90$rotación de grados. Por lo tanto,$\theta=DCG$. Llamar$L=DC$el lado del cuadrado grande, y$l$el lado del cuadrado pequeño. Por la ley de los cosenos en el triangulo$DEC$($DEC=45$grados y$EC=2EG=2\sqrt{2}l$)

$$L^2=l^2+(2\sqrt{2}l)^2-2l\cdot 2\sqrt{2}l\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$ lo que implica$L^2=5l^2$por eso$L=\sqrt{5}l$. Por la ley de los senos en el mismo triángulo $$\frac{l}{\sin\theta}=\frac{\sqrt{5}l}{\sqrt{2}/2}$$ lo que da $$\sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{10}$$ Por lo tanto, su ángulo es$\theta=\arcsin \frac{\sqrt{10}}{10}\approx 18.5$grados

Desde$\measuredangle DEC=\measuredangle DAC=45^{\circ},$vemos eso$DEAC$es cíclico, lo que dice$\measuredangle EAD=\measuredangle ECD.$

Ahora deja$DC=1$y$DG=a$.

Así, desde$DG$es una mediana de$\Delta EDC$, obtenemos:

$$a=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2\cdot1^2-(2\sqrt2a)^2},$$ lo que da$a=\frac{1}{\sqrt5}.$

Id est, por ley de cosenos para$\Delta DGC$obtenemos:

$$\theta=\arccos\frac{GC^2+DC^2-DG^2}{2DC\cdot GC}=\arccos\frac{\frac{2}{5}+1-\frac{1}{5}}{2\sqrt{\frac{2}{5}}}=\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Aquí hay otra interpretación. realizar un$90^{\circ}$rotación en el sentido de las agujas del reloj$D$. Entonces, desde$ABCD$y$EFGD$son cuadrados con el centro de rotación$D$como un vértice común,$A$se gira a$C$y$E$se gira a$G$. En consecuencia, triángulo$ADE$se gira a un triángulo$CDG$Lo que significa que

$$\angle \, EAD = \angle \, GCD = \theta$$ Dejar$K$ser el punto de intersección de las diagonales$EG$y$DF$de la plaza$EFGD$. Entonces $$KD = KG = KE = \frac{1}{2} GE = \frac{1}{2} GC$$ Desde$C, G, E$son colineales, entonces triangulo$CDK$es de ángulo recto ($\angle \, CDK = 90^{\circ}$) con relación $$\frac{KD}{KC} = \frac{KD}{KG + GC} = \frac{KG}{KG + 2KG} = \frac{1}{3}$$ En consecuencia, en el triángulo rectángulo$CDK$ $$\tan(\theta) = \tan\big(\angle\, GCD\big) = \frac{KD}{KC} = \frac{1}{3}$$ Por lo tanto, $$\angle \, EAD = \angle\, GCD = \theta = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) = 18.435^{\circ}$$