¿Cuál es la probabilidad de que el centro de un polígono regular de lados impares se encuentre dentro de un triángulo formado por los vértices del polígono?

Llama a$(2n+1)$-gon$P$, y etiquetar un vértice arbitrario$A$. Suponemos sin pérdida de generalidad que$A$es uno de los vértices elegidos. Sean los otros dos vértices elegidos en el sentido de las agujas del reloj$B$y$C$, respectivamente, y supongamos que hay$k$bordes de$P$contenido dentro de un arco menor$BAC$. Porque$\triangle ABC$contiene el centro de$P$, tenemos$\angle BAC < 90^\circ$. Esto implica$k\cdot \frac{180}{2n+1} < 90$; por eso$1\le k \le n$.

por un fijo$k$entre$1$y$n$inclusive, es fácil comprobar que existen$k$opciones de$B$y$C$tal que exactamente$k$bordes de$P$están contenidos dentro de un arco menor$BAC$. Esto nos da un total de$\sum_{k=1}^n k = n(n+1)/2$opciones válidas para$B$y$C$. Porque tenemos$\binom{2n}{2}$maneras de elegir$B$y$C$de todos los vértices restantes de$P$, la probabilidad de que un triángulo elegido al azar contenga el centro de$P$es

Nota: Esta probabilidad implica que hay un total de$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \sum_{k=1}^n k^2$triángulos que contienen el centro de$P$. ¿Hay también una prueba biyectiva que cuente esto directamente?