Parametrización de longitud de arco de geodésica en plano hiperbólico

Aquí hay una pregunta relacionada. Entonces tenemos$H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y>0\}$y definir la métrica$g=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$. Sé que el círculo$x^2+y^2=1, y>0$es la imagen de una geodésica en$H$. Una parametrización obvia de esta curva es$\gamma(t)=(\cos t,\sin t), t\in (0,\pi)$. Entonces, calculando la longitud de esta curva en$H$, obtenemos

$$L(\gamma)=\int_0^{\pi} (g_{\gamma(t)}(\dot{\gamma},\dot{\gamma}))^{1/2}=\int_0^{\pi} \frac{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}{y\circ\gamma(t)}dt=\int_0^{\pi} \csc tdt$$ pero esta última integral no converge.

Esto surgió cuando estaba tratando de calcular la parametrización de longitud de arco$s(t)=\int_0^t(g_{\gamma(\tau)}(\dot{\gamma},\dot{\gamma}))^{1/2}$encontrar$t(s)$, pero estaba encontrando que$s(t)$contenía un término divergente.

¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Editar: Entonces me han señalado que esta curva tiene una longitud infinita, que es lo que indica el cálculo. Pero mi pregunta es esta:

El parámetro de longitud de arco aquí es

$$s(t)=\int_0^t(g_{\gamma(\tau)}(\dot{\gamma},\dot{\gamma}))^{1/2}=\int_0^t \csc\tau d\tau$$ que tampoco converge. Supongo que la idea es que la longitud desde cualquier punto de la geodésica hacia el $x$-axis es infinito, ya que se va al infinito, lo que supongo que tiene sentido como $y\to 0$.

Entonces mi pregunta es, ¿cómo calculamos$s(t)$y su inversa? ¿Simplemente elegimos cualquiera?$t_0$para el límite inferior de la integral?