¿Cómo se definió y calculó originalmente la curvatura?

Apolonio (c. 262-190 a. C.) "calculó" la curvatura de las secciones cónicas implícitamente al resolver el problema de dibujarles normales en el libro V de Conica, pero no pensó en ello como una propiedad de una curva, y sus "cálculos son construcciones de segmentos. La primera persona en "ver" la curvatura fue Oresme (c. 1320-1382), el precursor de Descartes en la introducción de las coordenadas. Lo describió como una medida local de la flexión de la curva y lo bautizó con el latín "curvitas". Posteriormente propuso que para los círculos se puede cuantificar por el recíproco del radio, nuestra convención moderna. Kepler sugirió vagamente cómo definir la curvatura de las curvas generales considerando el círculo "más cercano" en un punto, denominado círculo osculador ("besador") por Leibniz en la década de 1680. Pero fue Huygens,

El cálculo aún no se había inventado, por lo que Huygens se basó en las ideas de Descartes sobre la multiplicidad de intersecciones y las ideas de Fermat sobre lo infinitamente pequeño. Descartes en Geometría (1637) da un método para dibujar tangentes y normales a una curva al encontrar círculos con centros en el eje, cuyos dos puntos de intersección con la curva "se unen", y así la intersección da una raíz doble. Esta fue la base del cálculo algebraico de Descartes., que precedió a las de Newton y Leibniz. Huygens se dio cuenta en 1653-4 de que para cualquier punto de una curva se pueden considerar dos normales "que se fusionan", y dio una forma semigeométrica de calcular su punto de intersección. Eso, por supuesto, era el centro de curvatura, y su distancia a la curva era el radio de curvatura, aunque Huygens no usó estos términos. Van Schooten incluyó el método en los apéndices de la segunda edición de la Geometría de Descartes (1659), que es de donde lo aprendió Newton. Más tarde, en un notable tour de force de Horologium Oscillatorum (1673), Huygens nombró al lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva su evoluta, y mostró cómo construir un péndulo perfecto, cuyo período no depende de su amplitud. La construcción se basó en el hecho de que evolucionar a una cicloide es congruente con ella.

Fue Newton quien desarrolló las ideas de Huygens en un método general para calcular la curvatura (que inicialmente llamó "torcedura") en 1664. Utilizó que dos normales cercanas "fusionadas" equivalen a tres puntos de intersección cercanos con el círculo "fundido" en el y usó el método de Descartes, con las mejoras de Hudde de 1659 para encontrar su centro buscando una raíz triple. Newton también se dio cuenta de que en los puntos de inflexión, donde el radio de curvatura "explota", uno debería asignar un valor de curvatura cero. Posteriormente en el Método de Fluxiones y Series Infinitas; con sus aplicaciones a la geometría de líneas curvas (1671)transformó el enfoque algebraico de la curvatura en uno más reconocible de cálculo. Pero es interesante que Newton fuera muy consciente y fácil con el cálculo algebraico "perdido" cuando desarrolló el suyo propio. Algunos libros de texto modernos, por ejemplo, Lectures on Classical Differential Geometry de Struik, todavía usan el lenguaje de puntos y normales coalescentes al definir la curvatura.

Lodder's Curvature in Calculus Curriculum brinda una guía paso a paso a través del cálculo de la curvatura y la evolución de la cicloide de Huygens. También describe el cálculo de Euler de 1760 de las curvaturas principales de una superficie. En Curvature of Surfaces in 3-Space se proporciona una descripción general de la historia temprana (con algunas imprecisiones) , la fuente es History of Curvature de Margalit . Huygens and Newton on Curvature and its Applications to Dynamics de Nauenberg brinda una descripción detallada basada en fuentes originales, describe brevemente el método alternativo de Newton para calcular la curvatura a la Descartes.

De Curvature of Surfaces in 3-Space de Michael Garman y Jessica Bonnie publicado en Verge 6:

La noción de curvatura comenzó con el descubrimiento y el refinamiento de los principios de la geometría por parte de los antiguos griegos alrededor del 800-600 a. La curvatura se definió originalmente como una propiedad de las dos curvas griegas clásicas, la línea y el círculo.

Se notó que las líneas no se curvan y que cada punto en un círculo se curva en la misma cantidad. El estudio real de la curvatura comenzó cuando Aristóteles amplió estos dos puntos y declaró que hay tres tipos de lugares geométricos: rectos, circulares y mixtos. Fue a partir de esta premisa que comenzó el verdadero estudio de la curvatura.

Appollonius de Perge ideó métodos para calcular el radio de curvatura en el 3er BCE. Estos métodos eran similares a los de Newton y Huygens (descubiertos hace unos 2.000 años después)...

El siguiente avance trascendental en el estudio de la curvatura vino de Nicole Orseme en el s. XIV. Oresme fue la primera persona en insinuar una definición real de curvatura. También supuso que había una medida específica de torsión a la que llamó 'curvitas'. Al observar varias curvas a la vez, Oresme finalmente propuso que la curvatura de un círculo era proporcional al inverso multiplicativo de su radio. Esto eventualmente proporcionaría la fuerza impulsora detrás de la búsqueda de encontrar la curvatura de una curva general...

Johannes Kepler hizo la siguiente contribución a la noción de curvatura. Mientras trabajaba en el problema de al Hazin (encontrar la imagen de un punto brillante cuando se refleja en un círculo), Kepler llegó a la idea de usar un círculo para medir la curvatura general en un punto de reflexión. Este círculo de aproximación se conocería como curva, un "círculo de curvatura" en un punto...

Después de esto, Huygens, Newton y Liebniz cosificaron el descubrimiento de Kepler a través del cálculo en la noción moderna de curvatura de una curva. Se puede dar una definición similar para la curvatura de una superficie. Pero en dimensiones superiores, una medida escalar de curvatura no es suficiente y se requieren tensores. Este fue el logro de Riemann después de que Gauss descubriera su curvatura epónima. Vale la pena señalar que el cálculo en manos de Newton en realidad comenzó, como señalan Garman y Bonnie, con su estudio de la curvatura en lugar del movimiento como se supone comúnmente.