Derivada de la forma cuadrática como aproximación lineal

Question

Derivada de la forma cuadrática como aproximación lineal

usuario1447447

Estoy tratando de encontrar la derivada de la $quadratic$ forma, por un $symmetric$ $n$ por $n$ matriz A y $x \in \mathbb{R}^n$ ,

F (X) = X^{t} A X

$f(x) = x^tAx$ tal que la derivada es un mapa lineal de

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ . Al aplicar la regla de la cadena, pude calcular la derivada como

f^{'} (x) = 2 x^{t} A

$f'(x) = 2x^tA$ expandiendo la matriz y usando la regla de la cadena (terminas con

f^{'} (x) = x^{t} (A^{t} + A) = 2 x^{t} A

$f'(x) = x^t(A^t + A) = 2x^tA$ , pero esto claramente no es un mapa de

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , aunque parece ser el gradiente de la función. Un poco de ayuda sería apreciada, gracias!

ian

es un mapa de

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , o más bien induce a uno. Específicamente, induce el mapa

y \mapsto 2 x^{t} A y

$y \mapsto 2 x^t A y$ . Desde

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ es un espacio de Hilbert, tenemos el teorema de representación de Riesz, por lo que este funcional lineal es, de hecho, solo el producto interno entre un vector (que llamamos gradiente) y la perturbación.

usuario1447447

Sí, la forma en que se planteó el problema fue confusa: decía que

f^{'} (x)

$f'(x)$ era un mapa de

R^{n} \to R

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , que interpreté como

f^{'} : R^{n} \to R

$f' : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ Que no es el caso. ¡Gracias por la aclaracion!

ian

Desafortunadamente abusamos de la notación con funciones. A menudo escribimos "

f (x)

$f(x)$ "cuando queremos decir"

f

$f$ , una función de un argumento cuyo argumento estamos llamando

x

$x$ ". Pero en realidad debería significar"

f

$f$ evaluado en

x

$x$ ". Parece que su fuente estaba evitando esta trampa, al describir

f^{'} (x)

$f'(x)$ como una función en sí misma, específicamente la linealización de

f

$f$ en el punto

x

$x$ .

usuario1447447

Definitivamente, y parece que en geometría diferencial, es (aparentemente, desde mi limitada experiencia) necesario respetar la convención, o los mapas (diferenciales, especialmente) se vuelven confusos.

Respuestas (1)

Derivada de la forma cuadrática como aproximación lineal

es un mapa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , o más bien induce a uno. Específicamente, induce el mapa $y \mapsto 2 x^t A y$ . Desde $\mathbb{R}^n$ es un espacio de Hilbert, tenemos el teorema de representación de Riesz, por lo que este funcional lineal es, de hecho, solo el producto interno entre un vector (que llamamos gradiente) y la perturbación.
Sí, la forma en que se planteó el problema fue confusa: decía que $f'(x)$ era un mapa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , que interpreté como $f' : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ Que no es el caso. ¡Gracias por la aclaracion!
Desafortunadamente abusamos de la notación con funciones. A menudo escribimos " $f(x)$ "cuando queremos decir" $f$ , una función de un argumento cuyo argumento estamos llamando $x$ ". Pero en realidad debería significar" $f$ evaluado en $x$ ". Parece que su fuente estaba evitando esta trampa, al describir $f'(x)$ como una función en sí misma, específicamente la linealización de $f$ en el punto $x$ .
Definitivamente, y parece que en geometría diferencial, es (aparentemente, desde mi limitada experiencia) necesario respetar la convención, o los mapas (diferenciales, especialmente) se vuelven confusos.

hk lee · Answer 1

Dejar

X (0) = X_{0}, X^{'} (0) = v

$x(0)=x_0,\ x'(0)=v$

Entonces

F (X (t)) = X (t)^{T} A X (t)

$f(x(t))= x(t)^T A x(t)$ de modo que

D F : R^{norte} \times R^{norte} \to R

$Df : {\bf R}^n\times {\bf R}^n\rightarrow {\bf R}$ Tomando la derivada:

D F (X_{0}, v) = \frac{d}{d t} |_{t = 0} F (X (t)) = v^{T} A X_{0} + X_{0}^{T} A v

$Df (x_0,v) =\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} f(x(t))=v^T A x_0+x_0^T A v$ Desde

A

$A$ es simétrico

X_{0}^{T} A v = (X_{0}^{T} A v)^{T} = v^{T} A X_{0}

$x_0^T A v =(x_0^T A v)^T=v^TAx_0$

Por eso

D F (v) = 2 v^{T} A X_{0}

$Df (v)=2v^TAx_0$

Eso es $Df(x_0)$ es un mapa lineal $Df(x_0)=2x_0^TA : {\bf R}^n\rightarrow {\bf R},\ v\mapsto 2x_0^TA v$

Gracias Hee, pero en el segundo paso, ¿cómo $f(t) = f(x(t))$ ? $f(t) = t^tAt$ , ¿bien? Quieres decir $f(x) = f(x(t))$ ?
dominio de $f$ es ${\bf R}^n$ . Cuando consideramos una derivada de $f$ , primero consideramos un $curve$ en un dominio ${\bf R}^n$ . Si $x: t\in {\bf R}\rightarrow {\bf R}^n,\ x(0)=x_0,\ x'(0)=v$ , entonces $f(x)=f(x(t))$ y $\frac{d}{dt} f(x(t))=Df (x'(0))=Df(v)$

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ian

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