Teorema de la divergencia de Gauss

Incluso yo también lo sentía incorrecto. Gracias por su confirmación, pero realmente estoy muy decepcionado de que el libro de mayor reputación en la comunidad de física sea conceptualmente incorrecto. La sexta edición de ese libro cuando solo estaban Arfken y Weber fue la mejor y no contiene esa declaración de basura, la participación de Weber lo arruinó. A medida que avanzamos en el tiempo, la gente está arruinando el mejor texto clásico en nombre de la actualización.

*la participación de Harris en la séptima edición lo arruinó

@AyushArora una declaración correcta (si está interesado) es: "si $\mathbf{A}$es un $C^1$campo vectorial que se admite de forma compacta (es decir, hay algo de bola $B_R$de radio $R$fuera del cual el campo vectorial $\mathbf{A}$desaparece), entonces todas las integrales sobre $\Bbb{R}^3$converger y $\int_{\Bbb{R}^3}\text{div}(\mathbf{A})\,dV = 0$". (Prueba por divergencia thm.) Como se muestra en la respuesta de Mike Stone, simplemente asumir que la integral de volumen converge no es lo suficientemente bueno, porque esto solo restringe el crecimiento de $\text{div}(\mathbf{A})$, pero también necesitamos controlar el crecimiento del campo vectorial real $\mathbf{A}$.