Cálculo de la longitud del arco de una curva por el teorema de Pitágoras

Question

Cálculo de la longitud del arco de una curva por el teorema de Pitágoras

elia

Me pidieron que explicara la longitud del arco de la curva paramétrica a un compañero de estudios, solo para descubrir que yo mismo no la entiendo completamente para poder explicarla. He leído varias publicaciones aquí sobre el tema, pero todavía siento que me falta algo.

Mi entendimiento es,

Dejar $C \rightarrow \mathbf{R_3}$ sea una curva arbitraria y sea $\textbf{x(s)}=$ ( $x_1(s), x_2(s), x_3(s)$ ) para $s\in [a,b]$ Sea una representación paramétrica de $C$ .

Para obtener la longitud del arco $ds$ - dónde $ds$ es un cambio infinitesimal en la longitud del arco: cuando tratamos con ecuaciones paramétricas, lo desglosamos en cuánto cambio ocurrió en cada una de las direcciones

(1)

d X_{i} = \frac{d X_{i}}{d s} \cdot d s = X_{i}^{^{'}} d s i \in 1, 2, 3

$dx_i = \frac{dx_i}{ds}\cdot ds = x_i^ {'} ds \quad \quad i\in {1, 2, 3}$

En base a esto, la longitud de $ds$ se convierte

(2)

d s = \sqrt{Σ_{i = 1}^{3} [X_{i}^{^{'}} \cdot d s]^{2}} = \sqrt{Σ_{i = 1}^{3} [X_{i}^{^{'}}]^{2}} \cdot d s

$\begin{equation} ds = \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}\cdot ds]^2}= \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}\cdot ds \end{equation}$

sumando $ds$ en el intervalo $s=a$ a $s=b$

(3)

a r C yo mi norte gramo t h = \int_{s = a}^{s = b} d s = \int_{s = a}^{s = b} \sqrt{Σ_{i = 1}^{3} [X_{i}^{^{'}}]^{2}} \cdot d s

$\begin{equation} arc \,\, length = \int_{s=a}^{s=b} ds = \int_{s=a}^{s=b} \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}\cdot ds \end{equation}$

En caso de que deseemos encontrar la longitud del arco en la curva $C$ de $x_1=a_0$ a $x_1=a_1$ , necesitaríamos integrar más $dx_1$ en lugar de $ds$

d s = \sqrt{Σ_{i = 1}^{3} [X_{i}^{^{'}}]^{2}} \cdot d s = \sqrt{X_{1}^{^{'} 2} + X_{2}^{^{'} 2} + X_{3}^{^{'} 2}} \cdot d s = \sqrt{X_{1}^{^{'} 2} \cdot (1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}})} \cdot d s

$\begin{equation*} ds = \sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}\cdot ds = \sqrt{x_1^{'2}+x_2^{'2}+x_3^{'2}}\cdot ds = \sqrt{x_1^{'2}\cdot (1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}})} \cdot ds \end{equation*}$

d s = \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot X_{1}^{^{'} 2} \cdot d s = \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot \frac{d X_{1}}{d s} \cdot d s

$\begin{equation*} ds = \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}}\cdot {x_1^{'2}}\cdot ds = \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}} \cdot \frac{dx_1}{ds}\cdot ds \end{equation*}$

a r C yo mi norte gramo t h = \int_{X_{1} = a_{0}}^{X_{1} = a_{1}} \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot \frac{d X_{1}}{d s} \cdot d s

$\begin{equation*} arc \,\, length = \int_{x_1=a_0}^{x_1=a_1} \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}} \cdot \frac{dx_1}{ds}\cdot ds \end{equation*}$

Usando la ecuación (1) anterior

a r C yo mi norte gramo t h = \int_{X_{1} = a_{0}}^{X_{1} = a_{1}} \sqrt{1 + \frac{X_{2}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}} + \frac{X_{3}^{^{'} 2}}{X_{1}^{^{'} 2}}} \cdot d X_{1}

$\begin{equation*} arc \,\, length = \int_{x_1=a_0}^{x_1=a_1} \sqrt{1 + \frac{x_2^{'2}}{x_1^{'2}}+\frac{x_3^{'2}}{x_1^{'2}}} \cdot dx_1 \end{equation*}$

En primer lugar, espero que las ecuaciones anteriores sean correctas, ya que siento que me estoy equivocando con las diferentes notaciones.
Echando un vistazo a la Ecuación (1), $ds$ se puede visualizar como la distancia a lo largo de la curva $C$ . $dx_i$ se puede visualizar, así como la distancia a lo largo de la $x_i$ eje. Pero no estoy muy seguro de lo que hace $\frac{dx_i}{ds}$ representar aquí. Sé que significa el cambio en $x_i$ con respecto a $ds$ , pero hay algo aquí que todavía me falta. Hay alguna manera de visualizar ese valor, tal vez eso podría ayudarme a entenderlo.

¿O es posible verlo como $(\frac{dx_i}{ds})$ representa la velocidad en el $x_i$ dirección y $ds$ siendo el tiempo por lo que su multiplicación $\frac{dx_i}{ds}\cdot ds$ es la distancia en esa dirección? Pero entonces, ¿cómo se puede interpretar eso en la Ecuación (2) como $time = speed \cdot time$ ?
Una última cosa, mirando la ecuación (2), ¿no $\sqrt{\Sigma_{i=1}^{3}[x_i^{'}]^2}$ ser igual a 1?

Respuestas (1)

Cálculo de la longitud del arco de una curva por el teorema de Pitágoras

usuario65203 · Answer 1

Trabajemos con incrementos finitos y en 2D.

Si las ecuaciones paramétricas de la curva son

X = X (t), y = y (t),

$x=x(t),y=y(t),$

un incremento $\Delta t$ en el parámetro corresponde a incrementos $\Delta x, \Delta y$ en las coordenadas.

Por Pitágoras, la distancia recorrida es

Δ s = \sqrt{Δ X^{2} + Δ y^{2}}

$\Delta s=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

y la longitud total de la curva,

S = \sum Δ s .

$S=\sum \Delta s.$

Pasando ahora al límite, tenemos, en términos diferenciales

S = \oint \sqrt{d X^{2} + d y^{2}} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{{(\frac{d X}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}} d t = \int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}} d t .

$S=\oint\sqrt{dx^2+dy^2}=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt.$

Si $t$ es el tiempo, también podemos escribir la expresión de la velocidad instantánea,

v = \frac{d s}{d t} = \sqrt{{\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2}}

$v=\frac{ds}{dt}=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ es decir, la combinación pitagórica de las velocidades horizontal y vertical.

Ahora bien, si la curva se describe como $y=y(x)$ , es suficiente para reemplazar $t$ por $x$ y

S = \int_{X_{0}}^{X_{1}} \sqrt{1 + y^{' 2}} d X .

$S=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+y'^2}\,dx.$

Las cantidades $\dfrac{dx}{ds}$ y $\dfrac{dy}{ds}$ son los llamados cosenos directores , es decir, las componentes del vector unitario tangente.

\vec{t} = \frac{\vec{v}}{v} = \frac{(\dot{X}, \dot{y})}{\frac{d s}{d t}} = (\frac{d X}{d s}, \frac{d y}{d s})

$\vec t=\frac{\vec v}v=\frac{\left(\dot x,\dot y\right)}{\dfrac{ds}{dt}}=\left(\dfrac{dx}{ds},\dfrac{dy}{ds}\right)$

y

{(\frac{d X}{d s})}^{2} + {(\frac{d y}{d s})}^{2} = 1.

$\left(\dfrac{dx}{ds}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{ds}\right)^2=1.$

La generalización a 3D es inmediata.

Gracias por la respuesta, según entiendo por las explicaciones, las ecuaciones en mi publicación son correctas en el espacio 3D. Así que entiendo la idea general detrás de las matemáticas y cómo sucede, sin embargo, ¿podría referirse a las viñetas en mi publicación como esos pequeños obstáculos que se interponen en mi forma de vincular todo?

Cálculo de la longitud del arco de una curva por el teorema de Pitágoras

elia

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elia

usuario65203

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