¿Por qué la derivada es el vector tangente?

Question

¿Por qué la derivada es el vector tangente?

usuario108205

Estoy tratando de entender, al menos intuitivamente, por qué la derivada de una función en un punto es el vector tangente en este punto.

Si vemos las funciones de este formulario $f:\mathbb R\to \mathbb R$ vemos claro que

F^{'} (a) = \underset{h \to 0}{límite} \frac{F (a + h) - F (a)}{h}

$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

es la pendiente de la tangente de $f$ en el punto $a\in \mathbb R$ , porque el coeficiente angular de una línea es $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Sin embargo, no pude entender por qué la derivada es el vector tangente en dimensiones más altas tan claramente como vemos en mi ejemplo anterior.

Para ilustrar lo que dije arriba, tomemos por ejemplo la hélice

α (t) : R \to R^{3}, α (t) = (a porque t, a pecado t, b t)

$\alpha(t):\mathbb R\to \mathbb R^3,\ \alpha(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$

Si tomamos la definición de derivada en dimensiones superiores en el libro de Spivak tenemos:

Una función $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ es diferenciable en $a\in \mathbb R^m$ si hay una transformacion lineal $\lambda: \mathbb R^n\to \mathbb R^m$ tal que

\underset{h \to 0}{límite} \frac{| F (a + h) - F (a) - λ (h) |}{| h |} = 0

$\lim_{h\to 0}\frac{|f(a+h)-f(a)-\lambda(h)|}{|h|}=0$

No puedo ver por qué el $\alpha'(t)$ es la tangente en el punto $t$ y traté también de ver la derivada como el jacobiano sin éxito.

Entonces mi pregunta es ¿por qué la derivada es el vector tangente?

Gracias de antemano.

O.

La definición de dirección tangente es la derivada.

usuario108205

@ABC ok, podemos definir la dirección de la tangente como la derivada, pero esto no resuelve mi problema.

steve kass

@ usuario108205, ¿cómo definiría o describiría usted mismo la tangente en el punto

t

$t$ ? Para ayudarlo a comprender por qué una cosa es igual a otra, es útil saber cómo entiende ambas cosas.

usuario108205

@SteveKass de forma geométrica, tomando el ejemplo anterior,

α^{'} (t)

$\alpha'(t)$ es una recta que pasa por un solo punto de la curva

α (t)

$\alpha(t)$

steve kass

Hay muchas rectas que pasan "por un solo punto de la curva

α (t)

$\alpha(t)$ .” Por ejemplo, si

α (t) = (a \cos t, a \sin t, b t)

$\alpha(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$ , casi todas las rectas que pasan por el punto

(1, 0, 0)

$(1,0,0)$ pasa por un solo punto de la curva. (Y si sirve de algo, la línea tangente a una curva en general no pasa necesariamente por un solo punto de la curva). ¿Qué definición de comprensión tiene que considere una línea particular entre las muchas que pasan por

α (t_{0})

$\alpha(t_0)$ ser la "línea tangente" en

t_{0}

$t_0$ ?

usuario108205

Estimado @SteveKass, tiene razón, hay muchas líneas que pasan por un punto en

α (t)

$\alpha(t)$ . Entonces, ¿qué hace

α^{'} (t)

$\alpha'(t)$ una tangente tan especial? gracias

Respuestas (1)

¿Por qué la derivada es el vector tangente?

@ABC ok, podemos definir la dirección de la tangente como la derivada, pero esto no resuelve mi problema.
@ usuario108205, ¿cómo definiría o describiría usted mismo la tangente en el punto $t$ ? Para ayudarlo a comprender por qué una cosa es igual a otra, es útil saber cómo entiende ambas cosas.
@SteveKass de forma geométrica, tomando el ejemplo anterior, $\alpha'(t)$ es una recta que pasa por un solo punto de la curva $\alpha(t)$
Hay muchas rectas que pasan "por un solo punto de la curva $\alpha(t)$ .” Por ejemplo, si $\alpha(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$ , casi todas las rectas que pasan por el punto $(1,0,0)$ pasa por un solo punto de la curva. (Y si sirve de algo, la línea tangente a una curva en general no pasa necesariamente por un solo punto de la curva). ¿Qué definición de comprensión tiene que considere una línea particular entre las muchas que pasan por $\alpha(t_0)$ ser la "línea tangente" en $t_0$ ?
Estimado @SteveKass, tiene razón, hay muchas líneas que pasan por un punto en $\alpha(t)$ . Entonces, ¿qué hace $\alpha'(t)$ una tangente tan especial? gracias

Sebastián Garrido · Answer 1

En 2 y 3 dimensiones podemos observar a partir del ejemplo que la derivada satisface lo requerido de un vector tangente. Si entiendes por qué es que funciona en el caso $f:R \rightarrow R$ , entonces obtendrá por qué funciona en el caso de 2 y 3 dimensiones. Para dimensiones más altas, esto es solo una generalización, ya que no puede visualizar el espacio 4d o superior (apenas puedo visualizar 3d).

¿Por qué la derivada es el vector tangente?

usuario108205

O.

usuario108205

steve kass

usuario108205

steve kass

usuario108205

Respuestas (1)

Sebastián Garrido

Demostrar que existe una derivada dado el límite de f'

fff es integrable pero no tiene integral indefinida

¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

Para la función diferenciable donde f′(0)=af′(0)=af'(0)=a y f′(1)=bf′(1)=bf'(1)=b tenemos que para todo c∈ (a,b)c∈(a,b)c\in(a,b) existe un yyy tal que f′(y)=cf′(y)=cf'(y)=c.

Prueba del teorema del valor intermedio y lema que conserva el signo

Demostrar que f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R} no es inyectiva por el teorema de la función inversa

Una doble integración a través del teorema de Fubini

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

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¿Existe una fórmula para la n-ésima derivada de 1f(x)+a1f(x)+a\frac{1}{f(x) +a}?