¿Por qué la longitud de arco es independiente de la parametrización? [duplicar]

Asumiendo$A = [c,d]$y$B=[e,f]$, hay un cambio de parámetro difeomorfismo$h : [c,d] \to [e,f]$tal que$x_1(t)=x_2(h(t))$y$y_2(t)=y_2(h(t))$,$t \in [c,d]$. Alquiler$s = h(t) \in [e,f]$obtenemos

$$\begin{align*} \int_{s=e}^{s=f} \sqrt{(dx_2/ds)^2 + (dy_2/ds)^2} \, ds &= \int_{t=c}^{t=d} \sqrt{\left(\frac{dx_1/dt}{h'(t)}\right)^2 + \left(\frac{dy_1/dt}{h'(t)}\right)^2} \, h'(t) \, dt \\ &= \int_{t=c}^{t=d} \sqrt{(dx_1/dt)^2 + (dy_1/dt)^2} \, dt \end{align*}$$

Dejar$\phi = (x_1, y_1)$,$\psi = (x_2, y_2)$. Tenga en cuenta que la definición de la integral de superficie afirma que,

$$\int_{C}1\,dS := \int_{A}\sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))}\,dt$$ está bien definido, independientemente de la parametrización$(A, \phi)$. Es decir, afirma que $$\int_{A}\sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))}\,dt = \int_{B}\sqrt{\det(D\psi(s)^TD\psi(s))}\,ds.$$ Colocar$F = \psi^{-1} \circ \phi \colon A \to B$. Tenga en cuenta que$F$es un difeomorfismo. Por la fórmula de cambio de variables para la integración sustituyendo$s = F(t)$, tenemos $$\begin{align} \int_{B}\sqrt{\det(D\psi(s)^TD\psi(s))}\,ds = \int_{A}\sqrt{\det(D\psi(F(t))^TD\psi(F(t)))}|\det(DF(t))|\,dt. \end{align}$$ Tenemos$\phi(t) = \psi(F(t))$, entonces$D\phi(t) = D\psi(F(t))DF(t)$. De este modo $$\begin{align} \sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))} &= \sqrt{\det(DF(t)^TD\psi(F(t))^TD\psi(F(t))DF(t))} \\ &= \sqrt{\det(D\psi(F(t))^TD\psi(F(t)))}|\det(DF(t))|. \end{align}$$ De este modo$\int_{A}\sqrt{\det(D\phi(t)^TD\phi(t))}\,dt = \int_{B}\sqrt{\det(D\psi(s)^TD\psi(s))}\,ds$, por lo que la integral de superficie está bien definida, independientemente de la parametrización. La prueba anterior funciona para superficies de dimensión arbitraria y, con pequeñas modificaciones, funciona para integrales de cualquier función.$f \colon C \to \mathbb{R}$, No solo$f = 1$. Técnicamente los conjuntos$A$y$B$aunque debería estar abierto.