¿Cómo distinguir entre longitud de arco y parametrización de longitud de arco?

Dejar$\alpha\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ser una curva suave por partes,$\alpha(t)=(x(t),y(t))$.

La longitud de arco de una curva parametrizada suave por tramos es$s(t)=\int_{t_0}^{t}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$para$t_0$y$t$en la misma pieza diferenciable,$t_0$su "punto de partida". Entonces$s$es una función del "espacio parametrizado",$I$, digamos, al "espacio de longitud de arco"$J$, decir. Entonces$s\colon I\to J$. Supongamos además que$s$es invertible en esta pieza ($s$típicamente es porque uno usualmente asume que$x'$y$y'$nunca son simultáneamente cero y por lo tanto que$s(t)$es una función estrictamente creciente). Por abuso de notación, definamos una función$t\colon J\to I$que es simplemente$t=s^{-1}$, el inverso de$s$. Entonces$\alpha$se puede parametrizar por longitud de arco observando que$t\in I$puede escribirse como una función de$s\in J$como$t(s)$. Por lo tanto, abusando aún más de la notación,$\alpha(t)=(\alpha\circ t)(s)$, cual es$\alpha$parametrizado por longitud de arco.

Cuando mide la longitud del arco como lo hizo, está haciendo dos suposiciones. (1) Que estás empezando desde$(1,0)$y (2) que, a partir de$(1,0)$, la longitud de arco hasta el punto$(\cos(3\pi/4),\sin(3\pi/4))=(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$es$\pi-3\pi/4=\pi/4$lo cual no tiene sentido geométricamente ya que primero hay que pasar$(0,-1)$llegar a ese punto permaneciendo en el dominio de$\alpha(\varphi):=C(\varphi)$. No estoy seguro de cómo llegaste a eso. medir desde$0$a$-|\varphi|$mide la longitud del arco de$\alpha([-|\varphi|,0])$.