¿Por qué los límites de esta integral no consideran ambas igualdades?

Cuando escribes una integral definida como

$$\int_a^b f(x,y)\, \mathrm dy,$$

La variable$y$dondequiera que aparezca en esa integral proviene de la$y$en$\mathrm dy.$Todas las instancias de la variable nombrada$y$dentro de la integral son invisibles e inaccesibles a cualquier expresión fuera de la integral. De hecho, técnicamente la elección del nombre$y$es irrelevante y se podría haber elegido cualquier nombre de variable que no esté ya en uso en la integral:

$$\int_a^b f(x,y)\, \mathrm dy = \int_a^b f(x,z)\, \mathrm dz = \int_a^b f(x,v)\, \mathrm dv.$$

El hecho de que$y$fue elegido en la solución escrita es simplemente una pista útil para usted de que este$y$está de alguna manera relacionado con el$y$en la definición de la distribución.

Así que la idea de que de alguna manera podríamos usar$y$fuera de la integral interna, por ejemplo para establecer los límites de la variable$x$en la integral exterior, simplemente no funcionará.

Afortunadamente, cuando establecemos los valores límite de la integral interna como se muestra en la solución,

$$\int_0^x f(x,y)\, \mathrm dy,$$

esto hace cumplir la condición de que$y < x$al requerir$y$integrarse sólo sobre valores entre$0$y$x.$Esto es suficiente. La condición, una vez cumplida, permanece vigente.

Intuitivamente:

$$\begin{align}\iint_{\text{all supported values}}\dfrac 1x \,\mathrm d\langle x,y\rangle &= \int_{\text{all values $x$ may take}}\left[\int_{\text{all values $y$ may take for a particular $x$}}\dfrac 1x\,\mathrm d y\right]\,\mathrm d x\\[2ex]\iint_{0\leq y\leq x\leq 1}\dfrac 1x \,\mathrm d\langle x,y\rangle &= \int_{0\leq x\leq 1}\left[\int_{0\leq y\leq x}\dfrac 1x\,\mathrm d y\right]\,\mathrm d x\\[1ex]&= \int_0^1\left[\int_0^x\dfrac 1x\,\mathrm d y\right]\,\mathrm d x\end{align}$$

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porque el dominio es$\{\langle x,y\rangle: 0\leq y\leq x\leq 1\}=\{\langle x,y\rangle: 0\leq x\leq 1\text{ and }0\leq y\leq x\}$

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Considere un conteo de la secuencia entera$\{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\}$cual es$\{\langle x,y\rangle\in\Bbb N^2:1\leq y\leq x\leq 3\}$. Esto es claramente 6, y tomando la serie está de acuerdo:

$$\begin{align}\sum_{\small\langle x,y\rangle\in\Bbb N^2:1\leq y\leq x\leq 3}1&=\sum_{x=1}^3\sum_{y=1}^x1\\&=\sum_{x=1}^3x\\&=6\end{align}$$

Pero si no "sumamos" la variable interna y limitamos la serie externa como$\{x\in\Bbb N:y\leq x\leq 3\}$:

$$\begin{align}\sum_{x=y}^3\sum_{y=1}^x 1&=\sum_{x=y}^3x\\&=y+\ldots+3\end{align}$$

Lo cual es claramente incorrecto, ya que hemos dejado$y$como variable libre.

Se aplica el mismo principio.