Paradoja de los gemelos simétricos en un universo cerrado

Su pregunta se aborda en el siguiente documento:

La paradoja de los gemelos en espacios compactos
Autores: John D. Barrow, Janna Levin
Phys. Rev. A 63 núm. 4, (2001) 044104
arXiv:gr-qc/0101014

Resumen: Los gemelos que viajan a una velocidad relativa constante verán dilatarse el tiempo del otro, lo que lleva a la aparente paradoja de que cada gemelo cree que el otro envejece más lentamente. En un espacio finito, los gemelos pueden estar en órbitas periódicas inerciales para que tengan la oportunidad de comparar sus edades cuando sus caminos se crucen. Como mostramos, coincidirán en sus respectivas edades y evitarán la paradoja. La resolución se basa en la selección de un marco preferido señalado por la topología del espacio.

Primero, imaginemos la paradoja de los gemelos "estándar": tiene un observador que coincide con el$y$-eje. El segundo observador sale con un ángulo mayor que$45$grados, y luego tiene que tener un tiempo de respuesta, después del cual se reincorporan al$y$eje y comparar edades. El segundo observador envejece menos porque recorre un camino entre los dos eventos de "encuentro" que toma menos tiempo propio. La no equivalencia de los dos caminos es forzada por la torcedura. En particular, si dibuja rayos de luz de intervalos iguales que salen del observador que no acelera, verá cómo el observador en movimiento los ve envejecer repentinamente a medida que aceleran.

Ahora, imaginemos la situación que describes, para hacer esto, imagina una tira de papel que es infinita en él.$y$-dirección, y tiene la topología del juego ``asteroides'' en el$x$-dirección. Esto describe un anillo geométricamente plano que evoluciona en el tiempo (agregar más dimensiones no cambia mucho la imagen física de este problema, pero hace que todo sea mucho más difícil de imaginar mentalmente). Nuestros dos observadores viajan a la misma velocidad en direcciones opuestas desde un punto común. Van al borde de la tira y salen por el otro extremo, y se encuentran en el medio. ¿Quién piensa que son mayores? ¡Nadie! Los caminos obviamente tienen longitudes propias iguales. ¿Cómo coincide esto con su percepción mutua? Bueno, solo dibuje los rayos de luz que salen de los dos observadores en su papel, cuando salen por el otro extremo, de repente ven el envejecimiento en el otro observador, el acto de "dar la vuelta al mundo".

Además, tenga en cuenta que realmente no necesita la relatividad general aquí: un cilindro es intrínsecamente plano (o al menos, puede serlo), por lo que aquí no importa, y marcos locales de un tamaño menor que el diámetro del universo será capaz de trazarse, sin distorsiones, en el espacio ordinario de Minkowski. Todo esto es topología.

EDITAR:

Al final, todo esto se puede resolver, tal como dije, dibujando líneas en un papel, identificando los lados entre sí y usando la regla$\tau^{2} = t^{2} - x^{2}$, dónde$x$es la distancia horizontal del 'espacio' recorrida,$t$es el tiempo transcurrido en el cuadro global del toroide (o el cuadro preferido, si se quiere), y$\tau$es la cantidad de envejecimiento del observador relevante en su marco. Todo lo que necesita es papel y reglas.

Y una vez que hablas de marcos preferidos, violas el espíritu de los postulados de Einstein. Esto no significa que no puedas hablar de las cosas de manera consistente. La relatividad especial en un toro sigue siendo perfectamente consistente, simplemente no es una teoría en la que todos los marcos sean equivalentes. También tenga en cuenta que el límite de velocidad de la luz seguirá siendo válido: la geometría local subyacente seguirá siendo idéntica a SRT. Simplemente tendrá diferencias cuando los observadores vayan 'alrededor del mundo'. Esta es la diferencia entre geometría y topología.

EDIT II, ​​bugalú eléctrico:

La asimetría proviene del hecho de que el propio universo tiene un marco de referencia y su tamaño se contraerá. Esto es medible por las personas mismas: todo lo que debe suceder es enviar un rayo de luz y esperar a que el rayo de luz dé la vuelta al mundo. El 'diámetro del universo' será (tiempo de órbita de la luz)/c. Se observará que este tiempo es menor cuanto más rápido se desplaza el observador. Así que todos los observadores estarán de acuerdo en que existe una noción global y absoluta de movimiento, y esto determinará quién envejece y cuándo.

Si le preocupa la invariancia traslacional, tenga en cuenta que está pegando$x=0$a$x=L$, pero una transformación de Lorentz va a mezclar coordenadas de espacio y tiempo, por lo que para un observador en movimiento, esto se pegará$\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0$a la misma expresión igual a$L$, e implicará una combinación de coordenadas de espacio y tiempo: parecerá que los límites se mueven.

El astronauta viajero es más joven. La situación no es reversible entre ambos astronautas porque el astronauta viajero está sometido a un efecto similar a la aceleración por estar siguiendo la curvatura del espacio en la cuarta dimensión.

La solución debe considerar la constelación geométrica/topológica. Y topológicamente, el astronauta viajero hace un viaje de ida y vuelta , aunque el universo sea plano y aunque el movimiento del astronauta viajero sea completamente inerte y sin aceleración alguna: porque no regresa por el mismo camino que tomó cuando se fue del otro astronauta.

Esto significa, incluso si no hay aceleración, que este caso es comparable con dos gemelos, uno haciendo un viaje de ida y vuelta y siendo más joven que el otro gemelo cuando regresa a la Tierra. Otra comparación: dos satélites terrestres, un satélite geoestacionario y un satélite en órbita . El satélite en movimiento no se someterá a ninguna aceleración de su curso 1D- (o 2D-), pero debido a la gravedad está permanentemente acelerado perpendicularmente en la dirección de la Tierra (la 3ª dimensión). De la misma manera, el astronauta no está acelerado en el espacio 3D , sino que sigue la curvatura de la 4ª dimensión .

Debido al impacto preponderante de la curvatura del espacio en la 4ª dimensión, las ecuaciones actuales con respecto a la paradoja de los gemelos no funcionan y deben corregirse para este caso especial. No hay aceleración en el espacio 3D, pero la curvatura es similar a una aceleración en la cuarta dimensión (= la dimensión en la que se curva el espacio 3D). El resultado será que el astronauta viajero (más exactamente: la distancia relativa entre ambos astronautas) es de alguna manera "acelerado" en la dirección de la cuarta dimensión por lo que la paradoja de los gemelos no se puede aplicar simétricamente, exactamente de la misma manera que para los dos satélites