Lagrangiano relativista para partículas masivas

Comencemos con la partícula libre. Para una partícula libre, es natural suponer que la acción es proporcional a su propio tiempo,

$$Ldt=\alpha\left(m,\boldsymbol{x},\dot{\boldsymbol{x}}\right)d\tau$$ dónde$\alpha$es alguna función que debería cuidar de cómo el Lagrangiano de la partícula libre depende de la posición y la velocidad. Pero una pequeña reflexión te muestra que$\alpha$(una función universal) no debería depender ni de la posición (de lo contrario, la partícula no estaría libre) ni de su velocidad dependiente del marco (de lo contrario, no se cumpliría el principio de relatividad). Así que te quedas con, $$Ldt=\alpha\left(m\right)d\tau$$ Por qué$\tau$, ¿momento apropiado? Porque esa es esencialmente la única invariante relativista que es proporcional al tiempo coordinado. Es la versión del tiempo transcurrido en la que todos los observadores inerciales están de acuerdo. Ahora puedes hacer una expansión de la serie de Taylor en potencias de$v/c$, mientras se mantiene$\alpha$allí, y comprobar que debe ser$-mc^2$(con el letrero incluido) si quieres que la acción encaje$L=\text{K.E.}$(energía cinética no relativista) para la partícula libre. En cambio, solo voy a conectar ese valor: $$L=-mc^{2}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}$$ $$\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \ll c\Rightarrow-mc^{2}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\approx-mc^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{2c^{2}}+\cdots\right)=$$ $$=-mc^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}+\cdots=$$ La única diferencia con la acción clásica no relativista es este término de masa en reposo, pero eso no afecta las ecuaciones de movimiento. Se conjetura que la otra parte del Lagrangiano (el término de interacción) es la forma en que generalmente se asume, porque la extrapolación natural a las partículas que interactúan es, $$-m_{1}c^{2}d\tau_{1}-m_{2}c^{2}d\tau_{2}+L_{\textrm{int}}dt$$ El término de interacción lo escribes en términos de tiempo coordinado porque es el único que "comparten" ambas partículas. Pero no es un invariante relativista. Este es el punto más delicado de toda la historia. asi que tendrias que comprobar eso$L_{\textrm{int}}dt$es en general un invariante. Toda la discusión se complica en este punto, así que supongamos que el subsistema 2 actúa como una fuente de campo para el subsistema 1, de modo que no se vea afectado por él. Entonces puedes ignorar el movimiento de 2, suponiendo que el término de interacción es así, $$L_{\textrm{int}}=f\left(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{v}_{1}-\boldsymbol{v}_{2}\right)$$ Y esto es lo que llamamos (menos) la energía potencial. El hecho de que deba depender solo de diferencias de coordenadas (y sus derivadas, pero de forma muy restringida) se debe a que el espacio es simétrico y debería ser imposible detectar dónde pongo todo. Espero que haya sido claro, y le invitamos a solicitar más aclaraciones.

Preguntar por una acción es preguntar por un lagrangiano. Y preguntar por un lagrangiano, al menos en física de partículas, es llegar a las premisas básicas del tema. No hay ningún lugar más profundo al que ir para explicar por qué este o aquel lagrangiano es el correcto, excepto apelando a cuestiones de simplicidad y simetría. En el presente ejemplo, uno quiere un Lagrangiano que sea lo más simple posible y que al mismo tiempo lleve a algún tipo de comportamiento interesante, y que también sea invariante con respecto a la traslación en el espacio y el tiempo (si se está considerando una partícula aislada) y, si uno está adoptando el tiempo propio en la integral de acción, entonces uno quiere un escalar de Lorentz. Así que uno considera lo asombrosamente simple${\cal L} = m c^2$. Uno descubre que para conseguir el impulso adecuado necesita${\cal L} = -m c^2$. ¡Y listo! ahí está: conjurado de nada más que simplicidad, simetría y covarianza. La "prueba" de que es correcto es que conduce a dinámicas que son consistentes con el experimento. Para analizar la dinámica con más detalle, se necesitan otros términos en el lagrangiano, como los términos de interacción, pero incluso con este lagrangiano simple se puede tratar la conservación de la energía y el momento y, por lo tanto, obtener información sobre las colisiones de partículas.

Comentario agregado

Después de un útil intercambio de comentarios con my2cts, me di cuenta de que lo anterior quizás sea demasiado breve para ser realmente útil. El enunciado más completo del Lagrangiano en un enfoque manifiestamente covariante es

$${\cal L} = - mc(-u^\mu u_\mu)^{1/2}$$ que anteriormente abrevié a$-mc^2$porque ese es de hecho su valor a lo largo de la línea de tiempo que sigue realmente la partícula. Sin embargo, al usar esto en el método de Euler-Lagrange, necesita conocer su dependencia de la velocidad 4 para otros caminos, y es por eso que se necesita la declaración completa (que se acaba de dar). La acción es entonces$S = \int {\cal L} d\tau$y la ecuación de Euler-Lagrange es $$\frac{d}{d\tau} \left( \frac{\partial {\cal L}}{\partial u^a} \right) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial x^a},$$ dónde$u^a = dx^a/d\tau$.

Sin embargo, para cualquiera que esté aprendiendo el tema por primera vez, creo que hay buenos argumentos para introducir el tratamiento en términos de tiempo coordinado en primera instancia. Tal tratamiento adopta

$$\tilde{\cal L} = - m c^2 / \gamma$$ y$S = \int \tilde{\cal L} dt$, lo que lleva a la ecuación de Euler-Lagrange $$\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial \tilde{\cal L}}{\partial \dot{x}^a} \right) = \frac{\partial \tilde{\cal L}}{\partial x^a},$$ dónde$t$es el tiempo coordinado en algún marco inercial dado, y el punto denota$d/dt$.