¿Por qué los relojes miden la longitud del arco?

Creo que es obvio por la foto:

(Mi argumento secundario sería que la integral es la medida geométrica independiente de la parametrización, que minimiza la energía funcional y, por lo tanto, es la generalización natural de la traducción de tiempo de caso plano . A menudo encuentra estos mapas exponenciales en dinámica, aquí dados por el flujo geodésico . Localmente, puede aplanar la métrica para obtener$g(x)=\eta+O(x^2)$e intente encontrar un límite de parches cada vez más pequeños. Pero esto realmente es equivalente a resolver la ecuación geodésica, que debe verse como dando la dirección del espacio-tiempo del objeto en movimiento a medida que es empujado a través del espacio-tiempo. También es equivalente a minimizar la curva entre los puntos, como se explicó anteriormente).

[Esta es ahora una respuesta larga. En resumen, generalmente se necesita una suposición física, el postulado del reloj , que la gente tiende a omitir, pero es necesario y no se puede argumentar a priori . Sin embargo, a veces es suficiente la relatividad especial más una versión restringida del postulado. La experiencia mundana es suficiente para verificar esta versión restringida.]

Dejar$\lambda = t$el tiempo según la inercia$O$, y deja$\vec{x}'$Sea la posición espacial de$O'$de acuerdo a$O$, tiempo$t'$es el tiempo medido por$O'$. Si$O'$es inercial por partes, luego a lo largo de cada pieza,

• el movimiento de$O'$es suave _ [A1]

• Para cada$\epsilon>0$, hay un$\delta>0$tal que, si, desde el punto de vista de cierto observador no acelerado$A$, la magnitud de la velocidad de otro observador$B$nunca excede$c\delta$entre tiempo$t_0$y$t_1$, luego lapso de tiempo$\Delta t_B$en$B$el reloj cumple$(t_1-t_0)(1-\epsilon) < \Delta t_B < (t_1-t_0)(1+\epsilon)$. [A2]

Elegir$\epsilon>0$, usa [A2] para obtener$\delta$; usa [A1] para interrumpir el movimiento de$O'$en intervalos lo suficientemente pequeños como para que, desde el marco de referencia de un observador interior que viaja entre los puntos extremos de una pieza, la velocidad de$O'$nunca excede$c\delta$; usa [A2] para hacer$[2]$verdad dentro$\epsilon$. Ya que esto funciona para todos$\epsilon>0$, [2] es simplemente cierto.

Ahora [A1] puede parecer sospechoso, ya que hemos utilizado un observador inercial por partes, ¡cuyo movimiento obviamente no es uniforme! ¡Así que ni siquiera podemos suponer nada sobre lo que este observador inercial por partes experimenta en las esquinas! Pero está bien, [A2] solo se refiere a las piezas individuales y no al todo. Utilice una familia de observadores (verdaderamente) inerciales que se encuentren en los puntos apropiados.

En cuanto a [A2], es un poco opaco, pero lo que dice es que si no te estás moviendo demasiado rápido en relación con un observador inercial, tu experiencia del tiempo es casi la misma. Esto no se deriva lógicamente de nada en particular, es solo una suposición física. Pero tenga en cuenta que la relatividad especial es tan difícil de aceptar para muchas personas precisamente porque [A2] es un hecho de la vida, para razonablemente pequeño$\epsilon$. Para hacerlo realidad incluso para los más pequeños$\epsilon$requiere más que la experiencia cotidiana, pero sigue siendo "sentido común", y presumiblemente comprobable a valores bastante pequeños.

Ahora, para creerlo literalmente por arbitrariamente pequeños$\epsilon$requiere un gran salto, pero no tome las ecuaciones diferenciales literalmente.

(Agregado:) ¡Ajá! Encontré el postulado del reloj para observadores acelerados, y creo que [A2] es intercambiable con él. Y sí, a menudo se omite pero no se puede derivar de otras suposiciones. Ha sido probado.

(Segundo apéndice): Aunque son interderivables, el mío es mejor :-) He dado la precisión de [2] directamente en términos de la precisión de [A2]. Por ejemplo, no necesitamos el postulado del reloj completo para la paradoja de los gemelos (que mencionas como un ejemplo motivador en un comentario):

• La aceleración adecuada de$O'$es continua y su magnitud está acotada por$a_{max}$. [A1']

(Sobre cualquier intervalo finito, [A1] implica [A1'] para algún valor de$a_{max}$. Y [A1'] es suficiente para el argumento anterior.)

Ahora, incluso con aceleraciones mundanas, la paradoja de los gemelos puede producir un desajuste considerable en edades dentro de la vida humana. (Además, si no son aceleraciones sobrevivientes, ¡la vida útil del gemelo viajero termina!) Entonces, hay un$a_{max}$para [A1']. Y, la experiencia mundana por sí sola prueba [A2] hasta ese$a_{max}$y hasta bastante pequeño$\epsilon$. Entonces [2] se cumple con suficiente precisión para dar la paradoja de los gemelos. Solo necesitamos la relatividad especial más un postulado de reloj restringido mundano.

(Me doy cuenta de que puede omitir toda la cuestión de la aceleración alterando la paradoja para que haya tres observadores inerciales que comparen los relojes a medida que pasan. Pero entonces ya no es la paradoja de los gemelos , ¡duh!)

Definitivamente creo que esta pregunta es mucho más simple.

Es una suposición a priori sobre la cual se construye GR, que esta cantidad será independiente del observador:

es decir, dos observadores diferentes medirán el mismo intervalo de espacio-tiempo entre dos eventos infinitesimalmente cercanos.

Por otro lado, el$x^0$coordenada de cualquier observador es por definición la lectura en su reloj de descanso, (tiempos$c$o no, tiempos$+1$o$-1$, todo dependiendo del mal gusto de cada autor moderno).

Dado que el reloj del observador en movimiento está en reposo con respecto a su propio marco de referencia, no mide ninguna variación en las coordenadas espaciales, es decir$dx^1=dx^2=dx^3=0$. Por lo tanto, medido desde el observador en movimiento,

Ese es su tiempo propio (al cuadrado) porque$g_{00}=\pm 1$(la métrica de un observador en caída libre es localmente plana). Ya que$ds^2$será el mismo para ambos observadores, entonces la lectura en el reloj de caída libre es igual al intervalo de espacio-tiempo medido por el observador distante. Eso es todo.

Ahora, si lo prefiere, puede reescribir el$dx^{\mu}$como funciones de una variación en el parámetro$\lambda$describiendo la curva e integrando a lo largo de esa curva, para llegar trivialmente a las expresiones en tu pregunta.

No quiero decir que las otras respuestas sean incorrectas, sino simplemente que este es un resultado directo de la teoría original, como lo expuso muy temprano el propio Einstein en las conferencias de Princeton de 1921, que no necesita mucha sofisticación matemática o postulados adicionales. . Einstein quería extender la invariancia de$ds^2$de la Relatividad Especial, al reino de los observadores no inerciales. En su esfuerzo por encontrar cómo$g_{\mu\nu}$tenía que ser para que esa invariancia se mantuviera también en presencia de aceleración/gravedad y coordenadas curvas, luego utilizó el transporte paralelo para llegar a la ecuación geodésica. Es por eso que la ecuación geodésica fue un postulado en la formulación temprana de GR (el siguiente paso fue relacionar$g_{\mu\nu}$a materia/energía, y por eso las Ecuaciones de Campo con el tensor de Einstein es el otro postulado de la teoría, pero esa es otra cuestión)

Creo recordar haber leído en alguna parte, que la geodésica ya no es un postulado, porque se puede derivar de las ecuaciones de Campo. Agradecería a cualquier usuario que proporcione la referencia correspondiente. En 1921, sin embargo, era un postulado.

Esta primera exposición de Einstein de GR de las conferencias de Princeton es de una belleza rabiosa, llena de ideas frescas y pensamiento heurístico brillante. No sé por qué se ignora casi sistemáticamente en todas las bibliografías estándar de GR.

Ahora bien, si me equivoco y esta pregunta no es tan ingenua como parece, espero que alguien me señale en qué me equivoco y qué me falta, para aprender algo nuevo.

Creo que la suposición de que un objeto puede tratarse como si se moviera inercialmente a lo largo de pequeñas porciones de su línea de tiempo no está justificada. Simplemente agrupa la aceleración continua en instantes de aceleración infinita en puntos discretos en la línea del mundo. La aceleración todavía está allí y aún necesita demostrar que no tiene efecto en el reloj.

Además, creo que la conclusión del argumento es incorrecta. Por ejemplo, un reloj de péndulo mide una función no trivial de la longitud del arco y la curvatura extrínseca de su línea de tiempo, pero todavía lo llamamos reloj. Por supuesto, se podría argumentar que no debería llamarse reloj, pero eso parece circular, ya que no hay una razón obvia para negarlo, excepto que no mide la longitud de la línea del mundo.

El contenido físico de la afirmación de que los relojes miden la longitud de la línea del mundo es simplemente que la longitud de la línea del mundo es una cantidad medible . La mensurabilidad de las distancias métricas (diferenciales) es un supuesto fundamental de la relatividad general. Decir que una distancia temporal es medible es decir que existe algún tipo de dispositivo que puede medirla, al menos en algún límite idealizado, y llamamos a tales dispositivos "relojes ideales", o simplemente "relojes" si eso no es ambiguo en contexto. .

En resumen, creo que la declaración "los relojes miden la longitud de la línea del mundo" es solo una definición, y la afirmación física subyacente no se puede probar porque es simplemente una suposición de la teoría.

El formalismo que ha creado para resolver esto se conoce como observadores/coordenadas "instantáneamente móviles", y es perfectamente válido. Es una forma de construir el sistema de coordenadas de Rindler .

Una vez que haya construido este formalismo, la transición a GR es probablemente más sencilla desde el punto de vista conceptual utilizando el vierbein . Entonces, la transición de la última ecuación en la pregunta a la forma GR original es solo una sustitución/cambio de coordenadas de variables en la integral.