Paradoja de los gemelos: los observadores contrarrestan la órbita de la Tierra

Interesante pregunta... con las suposiciones que has especificado, obviamente los observadores B y C tendrán la misma hora en sus relojes cuando se reencuentren porque sus situaciones son idénticas. El observador A, por otro lado, tiene que mantenerse en su lugar con un cohete o algo así, por lo que no está en un marco de referencia inercial. Basado en eso, A tendrá una hora diferente en su reloj cuando los tres se reúnan de nuevo.

Veamos qué dicen las matemáticas. Dada una Tierra esférica que no gira, podemos usar la métrica de Schwarzschild para describir el espacio-tiempo fuera de ella.

Para las trayectorias espaciotemporales de los tres observadores,$\mathrm{d}r = 0$(porque se mantienen en un radio constante) y$\mathrm{d}\phi = 0$(porque orbitan en un solo plano). Así que un poco de álgebra te lleva a

En esta fórmula,$r$es igual a la coordenada radial de los tres observadores,$c$es la velocidad de la luz y$r_s$es el radio de Schwarzschild de la Tierra. Los tres son constantes. Lo único que difiere de un observador a otro es la velocidad angular coordenada$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$, que es algo así como la velocidad angular medida por un observador distante. Para el observador B, esto será igual a alguna constante$\omega$, para C será igual a$-\omega$, y para A será cero. Esto significa que$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}$es igual para B y C, y ligeramente mayor para A.

Ahora bien, esta cantidad$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}$es la velocidad a la que el tiempo adecuado ($\tau$) transcurre en relación con el tiempo de coordenadas ($t$). El tiempo de coordenadas es, nuevamente, básicamente lo que mediría un observador distante. Entonces, cada vez que los tres observadores A, B, C se encuentran, la reunión se lleva a cabo en el mismo tiempo coordinado para los tres. Sin embargo, el momento adecuado$\tau$, que es el tiempo que cada observador mide internamente, no es el mismo para los tres. El hecho de que$\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t}$es más grande para el observador A significa que para una determinada cantidad de tiempo coordinado (como, por ejemplo, el intervalo entre dos reuniones sucesivas de los tres observadores), A experimentará más tiempo que B o C. Entonces, si los observadores comienzan con relojes sincronizados, la próxima vez que se encuentren, A encontrará que su reloj está un poco adelantado al de B y C.

Si tiene curiosidad acerca de los números: es posible que no tengamos la precisión suficiente para obtener un resultado exacto, pero puedo hacer esto solo para mostrar cómo funcionaría el cálculo. Conectemos el radio de Schwarzschild de la Tierra de$r_s = 8.9\text{ mm}$y el radio orbital de, digamos, la Estación Espacial Internacional en$r = 6750\text{ km}$(promedio aproximado). También podemos usar la velocidad orbital de la ISS de$r\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = 7.68\ \mathrm{\frac{km}{s}}$para los observadores B y C. Eso da las siguientes tasas:

La diferencia resulta$3\times 10^{-10}$. Entonces, durante un período orbital de 90 minutos, el reloj en A se adelantaría al de B o C en 1,7 microsegundos. Pero nuevamente, no estoy seguro de que este número sea necesariamente confiable porque aquí estamos hablando de números muy pequeños, y algunos de los efectos GR que he descuidado pueden contribuir.

Tan pronto como haya gravitación o aceleración, debe usar la relatividad general y los efectos simples de dilatación del tiempo que obtiene en la relatividad especial no están presentes (es decir, ya no son tan simples).

De hecho, el escenario que describe es equivalente a la paradoja de los gemelos estándar, con la excepción de que sus gemelos aceleran suavemente entre sí y que hay simetría entre los gemelos (¿trillizos?) B y C. La resolución de la paradoja de los gemelos es que para que el gemelo viajero regrese, debe acelerar y eso es contrario a las suposiciones hechas en la relatividad especial.

Lo bueno de tu ejemplo es que muestra que el problema con la paradoja de los gemelos no es que se rompa la simetría entre los gemelos, sino que la aceleración o la gravitación están presentes.

B y C tendrán el mismo tiempo, pero A será diferente. Será más rápido, si B y C están en una órbita lo suficientemente baja, o más lento si están en una órbita lo suficientemente alta. Debe usar GTR si la gravedad está involucrada

problema interesante Se puede omitir la referencia A, la estática. Los otros que orbitan alrededor de la Tierra experimentarán la misma fuerza gravitacional, y ambos relojes se ven afectados por igual, por lo que GR no puede contribuir a ninguna diferencia.
La órbita es circular y, a primera vista, requiere una aceleración.
¿Es tan? No, yo. Aunque están sujetos a fuerzas, la gravitación y la fuerza centrípeta, se cancelan entre sí y la fuerza neta es cero en la dirección radial. Si los motores están apagados, la aceleración tangencial también es cero.
Simplemente siguen la 'geodésica', en caída libre.
El problema es claramente simétrico en todos los niveles, y la RS es suficiente.
En el momento en que se crucen podrán enviar un mensaje con la hora del reloj y verán que marcan la misma hora. El señor David en su respuesta ya contó lo que sucede con el reloj de A que quedó en la superficie de la Tierra.
Cambiaré su posición a la misma altitud de los demás que están en órbita. Si va a una posición estacionaria con la superficie terrestre que no gira, debe aplicar motores para contrarrestar el efecto de la gravitación, con la misma cantidad de fuerza. Pero, a pesar de esto, ¿está acelerando el observador? No, en mi opinión, por la misma razón por la que sufre una fuerza neta cero en todas las direcciones.
SR es suficiente? Saque sus propias conclusiones.