Cancelación de efectos relativistas especiales y generales

Sí, para una órbita circular a aproximadamente$1.50$Los radios de la Tierra, las dilataciones del tiempo gravitacional y relativista especial se cancelan. El GPS se modela con la métrica estática de campo débil (en unidades de$c = 1$):

$$-d\tau^2 = -(1+2\Phi)dt^2 + (1-2\Phi)\underbrace{(dx^2+dy^2+dz^2)}_{dS^2},$$ para que podamos aproximarnos $$d\tau = dt\sqrt{1+2\Phi-(1-2\Phi)\frac{dS^2}{dt^2}}\approx\left[1+\Phi-\frac{v^2}{2}\right]dt,$$ con correcciones debidas a la dilatación del tiempo gravitacional y la dilatación del tiempo relativista especial aditivamente a este orden, ya que esta última da un factor de $1/\gamma = 1 - \frac{v^2}{2} + \mathscr{O}(v^4)$, mientras que la dilatación del tiempo gravitacional estacionaria tendría un factor de $\sqrt{1+2\Phi} = 1 + \Phi + \mathscr{O}(\Phi^2)$.

En el orden de aproximación anterior, cada reloj en el geoide funciona a la misma velocidad porque el geoide es una superficie equipotencial de la suma de los potenciales gravitacional y centrífugo (esto a veces se denomina potencial de gravedad ). Este factor común resulta ser$1 - \alpha$, dónde$\alpha \approx 6.9692\times10^{-10}$.

Como la métrica es estática,$\partial_t$es un campo letal que produce la conservación de la energía específica orbital$\epsilon = (1+2\Phi)\frac{dt}{d\tau}$. Si queremos que el satélite tenga la misma dilatación de tiempo que el reloj en el geoide, entonces por sustitución,$\Phi$debe ser una constante y, en consecuencia, también debe serlo.$v$. En otras palabras, no es posible tener una órbita que compense los cambios en el potencial gravitatorio con los cambios en la velocidad para mantener igual la dilatación total del tiempo.

Ahora, si aproximamos a la Tierra como esféricamente simétrica con potencial gravitacional$\Phi = -\frac{\mu}{r}$, entonces está claro que solo se deben considerar las órbitas circulares, y la misma condición de tasa de ticks$-\Phi + \frac{v^2}{2} = \alpha$da$\alpha = \frac{3}{2}\frac{\mu}{r}$, o$1.50$radios de la tierra.

---

En realidad, el potencial gravitacional en el modelo GPS se toma como los términos de monopolo y cuadrupolo:

$$\Phi = -\frac{\mu}{r}\left[1-J_2\left(\frac{a_1}{r}\right)^2P_2(\cos\theta)\right],$$ dónde $\mu = GM_\text{E} = 3.986004418(9)\times 10^{14}\,\text{m}^3/\text{s}^2$es el parámetro gravitatorio estándar, $J_2 = 1.0826300\times10^{-3}$es el coeficiente de momento cuadripolar, $a_1 = 6.3781370\times10^6\,\text{m}$es el radio ecuatorial, $\theta$es el ángulo polar habitual, y $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2-1)$es un polinomio de Legendre.

Esta situación es un poco más difícil, pero aún debería poder obtener una órbita que brinde una concordancia cercana en el plano ecuatorial.