¿Parábola o catenaria en este caso?

Anexo A: la película flexible se hunde en la caja debido a la menor presión interna dentro de la caja.

La pregunta es, ¿la película forma un paraboloide o una catenaria 3D o ninguna de las dos? este es el método habitual utilizado para hacer superficies parabólicas reflectantes de bajo costo (película mylar). El problema es que las superficies parabólicas hechas de esta manera probablemente funcionarán satisfactoriamente incluso si no fueran técnicamente parabólicas. Quiero saber si este método de usar presión de aire realmente puede, en principio , crear una superficie parabólica, o solo crea una aproximación, y si es lo último, ¿cuál sería el modelo matemático?

el ejemplo de cadena colgante fijada en dos extremos generalmente se promociona para catenarias. la esencia principal que obtengo de esto es que todos los vectores de fuerza experimentados por el arco son tangentes al arco, en todas partes del arco.

Mientras tanto, el cable arqueado en los puentes colgantes es el ejemplo de elección para las parábolas. en este caso, el vector de fuerza en el vértice es perpendicular al arco y todas las fuerzas externas que actúan sobre el arco son paralelas a este.

En la figura A, debido a la naturaleza de la presión del aire, los vectores de fuerza externa son perpendiculares a la superficie en todas partes de la superficie. Sospecho que el modelo de curva es esférico en lugar de parabólico.

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Si la gravedad está fuera de escena, creo que tienes razón. Sería esférico (y suponiendo una constante de resorte lineal en el material). Esto se debe a que si la película fuera una burbuja, ciertamente formaría una esfera. Sin embargo, una burbuja tiene el atributo diferente de que su sustancia puede fluir. Aun así, creo que se necesita gravedad, más que presión.

Respuestas (1)

Este es un problema bien estudiado. La solución clásica se debe a Henckey: "Sobre el estado de tensión en placas circulares con rigidez a la flexión que se desvanece", Zeitschrift für Mathematik und Physik, vol 63, 1915, pp 311-317; hubo una publicación de seguimiento de la NASA que muestra que la derivación original se rompe en desviaciones más grandes, cuando el componente radial de la tensión ya no es despreciable. También corrigen un error algebraico en uno de los términos (no tenían Mathematica en 1915, y algunas de estas expresiones se vuelven bastante peludas...)

Resulta que la forma es "aproximadamente parabólica", pero si lee el documento anterior, verá que la forma real es una función de la relación de Poisson del material. En particular, la solución general es de la forma

W ( ρ ) = q 1 / 3 ∑ 0 ∞ a 2 norte ( 1 − ρ 2 norte + 1 )

Dónde ρ = r / a es la distancia adimensional desde el centro del círculo, q es un parámetro de carga adimensional q = pag a mi h , a es el radio de la membrana, h el grosor, mi el módulo de Young y pag la presión aplicada.

los valores de a 2 norte depender de m , la relación de Poisson. Se expresan en términos de b 2 norte , otro conjunto de coeficientes utilizados para calcular la tensión. Los primeros términos son

a 0 = 1 b 0 a 2 = 1 2 b 0 4 a 4 = 5 9 b 0 7

Se pueden encontrar más términos en el artículo de la NASA. los valores de b 0 se tabulan en función de m en el mismo papel:

 mu     b_0
0.2    1.6827
0.3    1.7244
0.4    1.7769

Como puede ver, el valor no cambia "mucho". Si usamos los valores de m = 0.4 , entonces la forma de la membrana se vuelve

W ( ρ ) = q 1 / 3 ( 0.5628 ( 1 − ρ 2 ) + 0.0502 ( 1 − ρ 4 ) + 0.0099 ( 1 − ρ 6 ) )

Tracé esta expresión (normalizada a una desviación de w=1 en ρ = 0 ), así como una cuadrática pura. Puede ver claramente que hay desviaciones de la forma cuadrática:

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Por cierto, puede encontrar que "Modelado de grandes deflexiones de membranas circulares para aplicaciones en elementos ópticos activos", Novàk et al, 2014, doi: 10.1117/12.2061039 (detrás de un muro de pago) le brinda buena información adicional: se trata específicamente de usar tal membranas como elementos ópticos, y estudia en particular las desviaciones del comportamiento ideal para deflexiones más grandes. Sin embargo, no pude leer más allá del resumen, así que no puedo estar seguro...

Por lo que puedo decir, la diferencia entre Novàk et al y el artículo de la NASA de WB Fichter es que este último asume la derivada del desplazamiento con respecto al radio, d tu / d r es lo suficientemente pequeño como para despreciar un término ( d tu / d r ) 2 . Novàk et al mantienen ese término. Luego concluyen que para las cargas más pesadas consideran que la desviación con respecto a la solución de Fichter es 70 veces la longitud de onda, lo cual es inaceptable según ellos.
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