Calcular el caudal de agua a través del orificio

Question

Calcular el caudal de agua a través del orificio

eric

No soy muy bueno con la física de fluidos y necesito ayuda. Imagine la siguiente configuración con agua contenida frente a una pared con una abertura en la parte inferior:

Imagen fluida

¿Cómo calculo el caudal de agua? $Q$ ?. Investigué un poco y descubrí que necesito (parcialmente) calcular la presión a través de la abertura (orificio). Pero no sé la presión en la parte trasera del orificio. ¿Se puede solucionar esto de alguna forma?

Nota: no estoy diciendo "por favor dame la solución, soy flojo" . Quiero averiguarlo yo mismo. Pero como, en este caso, solo encontré fórmulas que involucran el cálculo de la caída de presión, no puedo usarlas para resolver el problema. Por eso vuelvo mi rostro hacia ti, para ver si hay otra forma de solucionar este problema.

Actualización: el "tanque" que contiene el agua es en realidad a big lake, y la apertura es cuánto se ha abierto la compuerta de agua. Necesito calcular con mucha precisión cuánta agua fluye a través de la abertura.

rodrigo

Si el agujero es lo suficientemente pequeño para que la presión sobre él pueda considerarse constante (

d ≪ h

$d \ll h$ ), entonces la presión es simplemente la densidad del fluido por

h

$h$ veces la gravedad.

eric

Ah, desafortunadamente ese no es el caso. dvaría y puede ser casi igual hen algunos casos.

Jim

No estoy de acuerdo con los votos cerrados sobre esta pregunta. Este es un ejemplo de "¿qué herramientas/física necesito para resolver este problema?", que todos acordamos que era el tema en el meta hilo

usuario3814483

¿Es el tanque lo suficientemente grande como para que

h

$h$ permanece constante? (no necesariamente eso

d ≪ h

$d\ll h$ , puede ser un tanque muy ancho)

eric

El tanque es en realidad a big lake, y esta es la compuerta de agua en la planta de energía. Necesito calcular con mucha precisión el caudal de agua dependiendo de cuánto se haya abierto la escotilla (la distancia

d

$d$ )

TazónDeRojo

Siempre que el orificio sea "pequeño" en relación con todo el tanque, calcular la presión es bastante fácil. La presión en el fondo del tanque es igual al peso del fluido sobre él. Así que eso sería D * g * h. En la parte superior del agujero está (hd) en lugar de h. La presión promedio sería igual a la presión en el punto medio. ¿Es eso suficiente para continuar?

bernardo

@Jim Estoy de acuerdo, pero Eric podría haber mostrado mucho más de lo que ya hizo, ya que aparentemente tiene más información de la que comparte.

eric

Lo siento si no proporcioné suficientes antecedentes sobre el tema, pensé en generalizarlo un poco más para que tal vez se ajuste a otras preguntas similares. La descripción completa de mi caso ahora se agrega como una actualización.

Respuestas (4)

Calcular el caudal de agua a través del orificio

Si el agujero es lo suficientemente pequeño para que la presión sobre él pueda considerarse constante ( $d \ll h$ ), entonces la presión es simplemente la densidad del fluido por $h$ veces la gravedad.
Ah, desafortunadamente ese no es el caso. dvaría y puede ser casi igual hen algunos casos.
No estoy de acuerdo con los votos cerrados sobre esta pregunta. Este es un ejemplo de "¿qué herramientas/física necesito para resolver este problema?", que todos acordamos que era el tema en el meta hilo
¿Es el tanque lo suficientemente grande como para que $h$ permanece constante? (no necesariamente eso $d\ll h$ , puede ser un tanque muy ancho)
El tanque es en realidad a big lake, y esta es la compuerta de agua en la planta de energía. Necesito calcular con mucha precisión el caudal de agua dependiendo de cuánto se haya abierto la escotilla (la distancia $d$ )
Siempre que el orificio sea "pequeño" en relación con todo el tanque, calcular la presión es bastante fácil. La presión en el fondo del tanque es igual al peso del fluido sobre él. Así que eso sería D * g * h. En la parte superior del agujero está (hd) en lugar de h. La presión promedio sería igual a la presión en el punto medio. ¿Es eso suficiente para continuar?
@Jim Estoy de acuerdo, pero Eric podría haber mostrado mucho más de lo que ya hizo, ya que aparentemente tiene más información de la que comparte.
Lo siento si no proporcioné suficientes antecedentes sobre el tema, pensé en generalizarlo un poco más para que tal vez se ajuste a otras preguntas similares. La descripción completa de mi caso ahora se agrega como una actualización.

usuario3814483 · Answer 1

Primero suponga que $h$ no cambia mucho porque tienes una gran masa de agua (podemos relajar esta condición más adelante). Supongamos también que el agujero es pequeño en comparación con la profundidad ( $d \ll h$ ) - Relajaremos esto también. Para este caso, la respuesta es sencilla, usaría las ecuaciones de Bernoulli y simplemente establecería la presión estática ( $\rho g h$ ) igual a la presión dinámica ( $\frac{1}{2}\rho v^2$ ). Entonces te retirarías $v$ y lo multiplicas por el area $A$ del agujero para conseguir $Q$ , desde $Q$ es el caudal volumétrico.

Ahora, vamos a relajar la condición de que $d \ll h$ . Dado que la presión en el pozo varía con la profundidad, la velocidad también variará. Puede tratar esto como un problema de cálculo en el que calcula el cambio incremental en la velocidad en función de la altura. Calcular $Q$ , necesitarías integrar $w \int v(x) \,\mathrm{d}x$ para $x = 0$ a $x = d$ . Nota $w$ sería el ancho de su agujero en la página (asumiendo un agujero cuadrado).

Una vez obtenida la expresión anterior ( $Q$ como una función de $h$ ), entonces podría relajar la condición de que $h$ ser constante observando que $h$ dependerá del caudal volumétrico y de la geometría del lago. Una vez que tengas $Q(h)$ del paso anterior puedes usar eso para calcular $h(t)$ y vuelva a sustituir eso en su ecuación del paso anterior.

Por favor discúlpeme ya que no he hecho cálculo en 4 años. Tengo algunas preguntas: $v(x)=\sqrt{2gx}$ que integro como usted describe, ¿verdad? Pero entonces $Q(h)$ como resultado, ¿a qué te refieres con calcular $h(t)$ ? Gracias de antemano.
@Eric Una vez que obtenga Q (h), si h no es constante en el tiempo, debe derivar h como una función del tiempo. Entonces, si el lago tiene ancho, largo y alto iniciales, correspondientes a un volumen inicial V, ese volumen disminuirá a una tasa de Q. Entonces puedes calcular, solo a partir de la geometría, el cambio de altura en función de Q, que es en sí mismo una función de la altura. Es una solución autoconsistente.
Ah, claro, pero dado que el lago es bastante grande, puedo suponer que h es constante todo el tiempo. He integrado la fórmula, que resulta muy parecida a la solución de rodrigo; pero me da valores incorrectos (tengo un diagrama con valores aproximados). ¿Me estoy perdiendo algo? Puedo darte la solución si quieres. Muchas gracias por tu ayuda, de verdad!
@Eric, debe publicar estos detalles en su pregunta original. Además, estoy descuidando la viscosidad: si esa es una suposición que puede hacer en su tarea, entonces estas ecuaciones (Rodrigos) deberían llevarlo al estadio correcto.

Juan Alexiou · Answer 2

He usado la fórmula de Darcy junto con las siguientes fórmulas para una solución numérica rápida (solo se necesitan algunas iteraciones)

$h_{F} = \frac{Δ PAG}{ρ gramo}$ $h_f = \frac{\Delta P}{\rho g}$
$F = D a r C y (R mi)$ $f = {\rm Darcy}(Re)$
$h_{F} = F \frac{L}{D} (\frac{v^{2}}{2 gramo})$ $h_f = f\,\frac{L}{D}\,\left( \frac{v^2}{2 g} \right)$
Resolver arriba para $v$
$R mi = \frac{ρ D v}{m}$ $Re = \frac{\rho D\,v}{\mu}$
Vaya al paso 2 hasta que $f$ converge a un valor.

En el paso 1, tienes $\Delta{P}$ , pero no tengo eso (como se indica en la pregunta), ¿o entendí mal su paso inicial?
De hecho $\Delta P = \rho g h$ entonces $h_f = h$ de hecho. Este es el conductor (fuerza motriz) del movimiento. lo que me preocupa es el $L$ cuál es la longitud del orificio. No estoy seguro de que esté definido aquí.
Por longitud, ¿te refieres a la longitud "en el papel"? Suponiendo que el agujero es cuadrado, ¿cuál es $D$ ¿entonces? Supongo que el diámetro, pero ¿cómo se aplica eso a un agujero cuadrado? Además, ¿cuál es la inicial? $Re$ ?
@Eric L es la longitud de su tubería; esto se aplica solo si hay una tubería conectada al orificio (no a la página). L está a lo largo de la dirección del flujo. El $Re$ es el número de reynolds, que tiene en cuenta la viscosidad. Esto captura la misma física que el $c$ coeficiente en las ecuaciones de Rodrigo.
Ah cierto, te tengo. Me siento un poco estúpido, no; pero en la primera iteración, ¿cómo calculo la constante de fricción? $f$ si no se el $Re$ valor hasta el paso 5)? Debe haber un valor Re inicial, ¿no?

Armadillo · Answer 3

El NCEES: FE Reference Handbook tiene buen material sobre el flujo de fluidos a través de un orificio sumergido en su sección de mecánica de fluidos. Puedes buscarlo en línea. NCEES le proporcionará uno sin cargo.

rodrigo · Answer 4

De un artículo de Wolfram obtenemos la ecuación de Bernoulli simplificada:

q = a C \sqrt{2 gramo h}

$Q = a c \sqrt{2 g h}$

Dónde

$Q$ : el caudal ( $\mathrm{m^3/s}$ )
$a$ : el área del agujero ( $\mathrm{m^2}$ )
$c$ : coeficiente de caudal (adimensional)
$g$ : la aceleración de la gravedad ( $\mathrm{m/s^2}$ )
$h$ : la profundidad del agujero ( $\mathrm{m}$ )

Eso es válido para un agujero lo suficientemente pequeño, pero como tu agujero puede ser grande, tenemos que usar el cálculo integral. Además, creo que el coeficiente de flujo se puede establecer en 1 para un gran agujero. Y el área del agujero se puede calcular como el ancho del agujero multiplicado por la altura (suponiendo un agujero cuadrado).

Entonces

\begin{aligned} q & = \int_{h - d}^{h} \sqrt{2 gramo y} w d y \\ = \int_{h - d}^{h} w \sqrt{2 gramo} \sqrt{y} d y \\ = w \sqrt{2 gramo} \int_{h - d}^{h} \sqrt{y} d y \\ = w \sqrt{2 gramo} {[\frac{2}{3} \sqrt{y^{3}}]}_{h - d}^{h} \\ = \frac{2}{3} w \sqrt{2 gramo} {[\sqrt{y^{3}}]}_{h - d}^{h} \\ = \frac{2}{3} w \sqrt{2 gramo} (\sqrt{h^{3}} - \sqrt{(h - d)^{3}}) \end{aligned}

$\begin{align}\renewcommand{\intd}{\,\mathrm{d}} Q &= \int_{h-d}^h \sqrt{2 g y}\,w \intd y \\ &= \int_{h-d}^h w \sqrt{2 g} \sqrt{\vphantom{2}y} \intd y \\ &= w \sqrt{2 g} \int_{h-d}^h \sqrt{\vphantom{2}y} \intd y \\ &= w \sqrt{2 g} \left[\frac{2}{3} \sqrt{y^3}\right]_{h-d}^h \\ &= \frac{2}{3} w \sqrt{2 g} \left[\sqrt{y^3}\right]_{h-d}^h \\ &= \frac{2}{3} w \sqrt{2 g} \left(\sqrt{h^3} - \sqrt{(h-d)^3}\right) \end{align}$

Intente tener en cuenta la solicitud del OP: 'No estoy diciendo 'por favor, deme la solución, soy flojo'. Quiero resolverlo yo mismo". Apuntemos a complacer...
@user3814483: Ok... No estoy tan seguro de que mis ecuaciones sean correctas, o incluso apropiadas para el problema... solo estoy desarrollando la idea...
No, esto está bien, es más complicado de lo que pensaba, gracias. Lo probé pero no me dio los números correctos, pero jugaré un poco con eso. Muchas gracias @rodrigo
@Eric: En realidad, esperaría que el valor real fuera bastante más bajo que mis predicciones. Uno, porque real $c$ sería más bajo; Dos, porque el agua que sale por la parte superior del agujero obstruirá el flujo por el fondo del agujero... A menos que haya una tubería, claro, pero entonces la cosa es aún más complicada.
Ah te tengo. ¡Muchas gracias por su ayuda! De hecho, tengo un coeficiente de flujo dado, pero los valores siguen siendo demasiado altos. Supongo que eso está relacionado con el 2) que mencionaste.

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Presión dinámica del agua a partir del flujo y el diámetro.

¿Cuál será el aumento de presión debido a la caída libre de agua desde un tanque desde una altura de 20 m hasta una tubería parcialmente llena?

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