Puedo tener cierta confusión sobre el giro y la torsión de un filamento elástico. El problema se centra en esta configuración.
Sostengo un cable en mis manos, de modo que forme una línea recta. Manteniendo los extremos sujetos con mis dedos , los muevo más cerca hasta que están uno al lado del otro, de modo que el cable forme un círculo. Sin embargo, puedo sentir que hay una tensión de torsión significativa almacenada en el filamento, tanto que para ciertos cables esto es muy difícil de hacer. Sin embargo, si giro los extremos mientras los muevo, puedo sentir que no hay tensión y que el cable está claramente relajado.
Mi pregunta es, ¿cuándo se crea el giro en el primer caso? He movido los puntos finales en línea recta y los he mantenido sujetos todo el tiempo para que no puedan rotar. Parece que la desaparición del giro total debería protegerse topológicamente, pero evidentemente no (o, la transformación que he realizado en el filamento de alguna manera perturbó la topología). ¿Dónde se ha equivocado mi pensamiento?
Para ser claros, mi pregunta no es sobre qué, a nivel mecánico, está causando la tensión. Entiendo que a medida que la sección transversal del material gira sobre la tangente del filamento, se crea tensión. Me pregunto más cómo la sección transversal termina girando cuando mantengo los puntos finales sujetos.
Así que logré resolver esta pregunta por mi cuenta a través de algunas lecturas y cálculos. El quid de mi problema parece ser mi creencia de que la torsión total del filamento está topológicamente protegida.
Considere un filamento helicoidal sujeto a condiciones de contorno periódicas. En este caso, sabemos sin lugar a dudas que no hay rotación entre los dos puntos finales, porque, por supuesto, no hay puntos finales distintos. Supongamos que la línea central del filamento forma una hélice (ya que esto minimiza , la energía elástica clásica de Euler). Lo que queremos medir cuando hablamos de torsión es la velocidad de rotación de la sección transversal del filamento. Esto es difícil porque no es obvio cómo se ve realmente una sección transversal sin torcer en tres dimensiones. Por tanto, lo primero que hay que hacer es definir el marco natural , un marco vectorial ortonormal dónde es el vector tangente local, definido en cada punto a lo largo del filamento. Este marco es notable porque no tiene "giro" en el siguiente sentido: , donde prima denota una derivada con respecto a la longitud de arco del filamento. Esto muestra que el marco no gira sobre el vector tangente, lo que lo hace ideal como punto de referencia.
Podemos medir la orientación de la sección transversal relativa a este marco. Sin embargo, sabemos que de un extremo al otro del filamento, la sección transversal no gira, porque los dos extremos son realmente el mismo punto. Así que simplemente podemos medir la rotación total del marco natural durante un período de la hélice. Un poco de trabajo mostrará que para una hélice de radio y tono , el marco natural gira un ángulo de
Me sorprende ver que esta variable cambia continuamente con el tono. La conclusión a sacar aquí es que a medida que comprimimos nuestra hélice con condiciones de contorno periódicas, acumulará torsión gradualmente. Una vez que lo hemos envuelto en un círculo y , habrá pasado por un completo rotación. ¡Supongo que por eso es importante que los roadies sepan cómo enrollar cables!
ZachMcDargh
usuario108787
Selene Routley