¿De dónde viene esta fórmula para la flacidez de una viga?

Question

¿De dónde viene esta fórmula para la flacidez de una viga?

Trabajo
Física
elasticidad
mecánica de Medios Continuos
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najayaz

En uno de mis libros de texto de física hay un capítulo sobre la elasticidad de los materiales que contiene un esquema bastante básico sobre el módulo de Young, la tensión-deformación, la energía potencial elástica y cosas relacionadas. Solo hay una cosa que se dice en el libro que no entendí, que es esta:

Considere una viga elástica rígidamente apoyada en ambos extremos en forma horizontal, que está cargada con un peso $W$ en el centro. su longitud es $l$ , el ancho es $b$ , la profundidad es $d$ y el módulo de Young es $Y$ . Entonces la viga se hunde en una cantidad $\delta$ que está dado por:
$d = \frac{W {yo}^{3}}{4 b d^{3} Y}$ $\delta={Wl^3 \over 4bd^3Y}$

El libro dice que se puede derivar fácilmente con conceptos básicos de elasticidad y algunos cálculos. Lo que probé fue:

Intente calcular la deformación longitudinal aproximando la viga doblada como un arco circular.
Integre el esfuerzo cortante a lo largo de la viga y aproxime el módulo cortante $G\approx {Y \over 3}$
igualar el trabajo $(W\delta)$ hecho en la viga debido a la carga a la energía potencial elástica.

A pesar de muchos esfuerzos, no pude llegar al resultado. ¿Alguien puede ayudarme a probar este resultado?

RC Drost

Su enfoque fue incorrecto, incluso si usó la fórmula correcta para

y (x)

$y(x)$ . El problema básico es que si igualamos esas dos energías...

W δ

$W \delta$ y la energía de flexión que lo resiste, entonces esperamos que la energía potencial total sea 0. Otra viga con energía potencial 0 es la viga horizontal sin peso sobre ella. Ahora de repente pon

W

$W$ sobre él: no irá al equilibrio sino a través de él, con algo de energía cinética. No es hasta que la fricción extrae esa energía que llega a descansar en su equilibrio. Entonces, la energía potencial mínima no es 0, sino estrictamente menor que eso.

najayaz

@ChrisDrost Sospeché que ese enfoque estaba mal, ¡gracias por aclararlo!

RC Drost

Si quieres, puedes usar el cálculo de variaciones para encontrar un estado estacionario y minimizar la energía potencial. No es demasiado difícil: toma la expresión correcta

U = \int d x (F (x) y (x) - Y I [y^{″} (x)]^{2})

$U=\int dx\left(F(x)y(x)-YI[y''(x)]^2\right)$ y reemplazar

y (x) \to y (x) + δ y (x)

$y(x)\rightarrow y(x)+\delta y(x)$ , Buscando

δ U = \int d x (F δ y - Y I [(y^{″} + δ y^{″})^{2} - (y^{″})^{2}]) = 0

$\delta U=\int dx\left(F~\delta y-Y~I~\left[(y''+\delta y'')^2-(y'')^2\right]\right)=0$ . Postergación

(δ y^{″})^{2}

$(\delta y'')^2$ integras por partes dos veces:

\int d x (F - Y I y^{⁗}) δ y = 0

$\int dx(F-Y~I~y'''')\delta y=0$ Solo puede ser

0

$0$ para todos

δ y

$\delta y$ si

F = Y I y^{⁗} .

$F=Y~I~y''''.$ (Pero, F(x) tiene una función δ ).

Respuestas (2)

¿De dónde viene esta fórmula para la flacidez de una viga?

Su enfoque fue incorrecto, incluso si usó la fórmula correcta para $y(x)$ . El problema básico es que si igualamos esas dos energías... $W \delta$ y la energía de flexión que lo resiste, entonces esperamos que la energía potencial total sea 0. Otra viga con energía potencial 0 es la viga horizontal sin peso sobre ella. Ahora de repente pon $W$ sobre él: no irá al equilibrio sino a través de él, con algo de energía cinética. No es hasta que la fricción extrae esa energía que llega a descansar en su equilibrio. Entonces, la energía potencial mínima no es 0, sino estrictamente menor que eso.
@ChrisDrost Sospeché que ese enfoque estaba mal, ¡gracias por aclararlo!
Si quieres, puedes usar el cálculo de variaciones para encontrar un estado estacionario y minimizar la energía potencial. No es demasiado difícil: toma la expresión correcta $U=\int dx\left(F(x)y(x)-YI[y''(x)]^2\right)$ y reemplazar $y(x)\rightarrow y(x)+\delta y(x)$ , Buscando $\delta U=\int dx\left(F~\delta y-Y~I~\left[(y''+\delta y'')^2-(y'')^2\right]\right)=0$ . Postergación $(\delta y'')^2$ integras por partes dos veces: $\int dx(F-Y~I~y'''')\delta y=0$ Solo puede ser $0$ para todos $\delta y$ si $F=Y~I~y''''.$ (Pero, F(x) tiene una función δ ).

floris · Answer 1

En cada punto a lo largo de la viga, la curvatura debe ser tal que el momento de flexión aplicado externamente contrarreste exactamente la tensión interna. Esto le dice que la curvatura no es constante: es una función de la distancia al lado (más grande en el medio, cero en la pared). Esto significa que su suposición de "sección circular" es incorrecta.

Ver por ejemplo figura 3.16 en este enlace y derivaciones asociadas.

Simplificando la descripción que se encuentra allí:

De su ecuación 3.21, la curvatura $\rho$ de una viga está relacionada con el momento flector $M$ por

\begin{matrix} (1) & ρ = \frac{mi I}{METRO} \end{matrix}

$\rho = \frac{EI}{M}\tag1$

Dónde $E$ es el módulo de Young y $I$ es el segundo momento de área. Para una viga rectangular (no especificada en su pregunta, pero eso es lo que asumo) podemos calcular $I$ como

\begin{matrix} (2) & I = \frac{b d^{3}}{12} \end{matrix}

$I = \frac{bd^3}{12}\tag2$

(ver por ejemplo este enlace )

Ahora necesitamos una expresión para el momento de flexión en función de la posición. Para los puntos a la izquierda del centro, el momento flector es proporcional a $Wx/2$ - la mitad del peso (dos soportes) por la distancia desde el soporte.

Sabiendo que el radio de curvatura es (para deflexiones pequeñas) inversamente proporcional a la segunda derivada de la forma, podemos escribir

\begin{matrix} (3) & \frac{d^{2} y}{d X^{2}} = - \frac{W X}{2 mi I} \end{matrix}

$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{Wx}{2EI}\tag3$

Integrando dos veces, obtenemos

\begin{matrix} (4) & y = - \frac{W X^{3}}{12 mi I} + A X + B \end{matrix}

$y = -\frac{Wx^3}{12EI} + Ax + B\tag4$

si establecemos $y=0$ en $x=0$ , obtenemos $B=0$ . Poniendo la pendiente de la curva =0 en $x = \frac{\ell}{2}$ , encontramos

- \frac{W (ℓ / 2)^{2}}{4 mi I} + A = 0

$-\frac{W(\ell/2)^2}{4EI} + A = 0$

\begin{matrix} (5) & A = \frac{W ℓ^{2}}{dieciséis mi I} \end{matrix}

$A = \frac{W\ell^2}{16EI} \tag5$

lo que lleva a una expresión para la deflexión

\begin{matrix} (6) & y = \frac{W X}{12 mi I} (\frac{3 ℓ^{2}}{4} - X^{2}) \end{matrix}

$y = \frac{Wx}{12EI}\left(\frac{3\ell^2}{4}-x^2\right) \tag6$

Sustituyendo $x=\frac{\ell}{2}$ en (6), y usando la expresión (2) para $I$ , obtenemos la deflexión que estabas buscando.

Esta expresión concuerda con la ecuación (7) en esta referencia .

El enlace es bueno, pero la derivación está un poco fuera del alcance del libro en el que encontré la fórmula. ¿Crees que hay una derivación más simple?

RC Drost · Answer 2

Los 4 y los cubos posiblemente provienen de la teoría física general que involucra una cuarta derivada,

α \frac{d^{4} y}{d X^{4}} + m \ddot{y} = W d (X) .

$\alpha \frac {d^4y}{dx^4} + \mu ~ \ddot y = W \delta(x).$ Esta expresión tiene un Dirac

δ

$\delta$ -función para localizar el peso en

x = 0

$x=0$ y en estado estacionario

\ddot{y} = 0

$\ddot y = 0$ . Entonces

y^{‴} (x)

$y'''(x)$ es discontinuo en

x = 0

$x=0$ por una cantidad total

W / α

$W/\alpha$ ; entonces en el espacio de

x = 0

$x=0$ a

l / 2

$l/2$ toma la forma de un cubo,

y (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}

$y(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$ .

Usando la simetría de reflexión x podemos reducir esto a un problema simple en $(0, l/2)$ donde tenemos las condiciones de contorno: $y'''(0) = 6 a_3 = W/(2\alpha)$ , $y'(0) = a_1 = 0$ , también sabemos que $a_0 = -\delta$ y luego podemos elegir $a_2$ para forzar $y(l/2) = 0$ .

Una vez que haya resuelto este polinomio, trataría de averiguar cuál es la otra condición que se requiere en $x = l/2$ para obtener la relación que usted está mirando. Puede ser $y''(l/2) = 0$ ; Wikipedia en el enlace anterior llama a esto un "extremo simplemente compatible" y básicamente "se parece" a su figura. en cambio puede ser $y'(l/2) = 0$ que sería un extremo "sujetado para ser horizontal".

Muchas gracias por la respuesta, pero desafortunadamente, no entendí ni una palabra de eso.

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