Una ecuación diferencial de la barra de pandeo

Primero, la solución a tu ecuación no es exactamente lo que obtuviste, pero,

$$v(x) = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax + C_3x + C_4$$

dónde$a^2 = \frac{P}{EI_x}$. Y luego necesita mirar más cuidadosamente sus condiciones de contorno...

$$v(0) = C_1 + C_4 = 0,\ C_4 = -C_1$$ $$v'(0) = C_2 a + C_3 = 0,\ C_3 = -aC_2$$ $$v(l) = C_1 \cos al + C_2 \sin al + C_3 l + C_4 = C_1(\cos al - 1) +C_2(\sin al -al) = 0$$ $$v'(l) = -C_1 a \sin al + C_2 a \cos al +C_3 = -C_1 a \sin al + C_2 a (\cos al - 1) = 0$$

Las últimas dos ecuaciones tienen la solución trivial, pero pueden tener una solución no trivial si el sistema es degenerado. En este caso equivale a que el determinante de la matriz de coeficientes sea 0, o sea:

$$(\cos al -1)^2 + \sin al (\sin al - al)=0$$

Trabajando en esto, eventualmente puede llegar a que hay una solución no trivial si

$$\cos al = \frac{4 \pm a^2l^2}{4+a^2l^2}$$ .

La más simple de las dos soluciones viene cuando$cos al = 1$, entonces$al = 2\pi n$. Para$n=1$, obtienes una solución no trivial para

$$P = \frac{4 \pi^2 EI}{L^2}$$

que es la carga crítica para una varilla de pandeo doblemente sujeta.

La otra solución,$\cos al = \frac{4 - a^2l^2}{4+a^2l^2}$también tiene infinitas soluciones, una en$al=0$, el próximo alrededor$al \approx 4$, vea el gráfico a continuación donde se trazaron ambos lados de la ecuación. Desde$4 > 2 \pi$, la carga crítica efectiva es la otra.