Para cualquier partición finita del plano y un conjunto finito A, ¿existe un conjunto en la partición que tenga una copia similar de A?

El enunciado original del problema es el siguiente: Para cualquier subconjunto de$\mathbb{R}^2$, dejar$A \sim B$si y solo si$A$se puede escalar, traducir y rotar en$B$. Para cualquier partición finita de$\mathbb{R}^2$, eso es$P_i \subset \mathbb{R}^2, \cup_{i = 1}^{N} P_i = \mathbb{R}^2, \forall i \neq j, P_i \cap P_j = \emptyset,$y para cualquier conjunto finito$A \subset \mathbb{R}^2$, existe$P_i$tal que existe un subconjunto$B \subset P_i$y$A \sim B$.

obviamente cada uno$P_i$no puede tener celdas en él, por lo que intuitivamente hablando, un contraejemplo debe dividir el plano en pedazos muy finos. Sin embargo, muchas de estas construcciones (Ejemplo:$\mathbb{Q}^2$, tomando como base$\mathbb{R}$encima$\mathbb{Q}$, etc.) no parece ser extensible a todo el plano.

He ensayado algunas demostraciones positivas por inducción sobre el número de puntos de$A$, pero no he encontrado ningún progreso real. Cualquier resultado parcial (Ejemplo: axioma de elección, suponiendo conjeturas no resueltas, casos más débiles) será muy apreciado.