Ejemplos de un mapa de cociente no cerrado y espacio de cociente no Hausdorff

En cuanto al primer ejemplo:

Dejar$X$sea ​​un espacio de Hausdorff pero no normal. Dejar$A, B$ser dos conjuntos cerrados que no pueden ser separados por conjuntos abiertos disjuntos. Definir$R$, la relación de equivalencia como un subconjunto de$X \times X$por$\Delta \cup (A \times A) \cup (B \times B)$, que está cerrado, donde$\Delta = \{(x,x): x \in X\}$es la diagonal. Entonces identificamos todos los puntos en$A$a un nuevo punto$[A]$y todos los puntos en$B$a un nuevo punto$[B]$en el cierre. Dejar$q$sea ​​el mapa del cociente$X \rightarrow X/R$.

Entonces sí$U \subseteq X/R$y$V \subseteq X/R$serían barrios abiertos disjuntos de$[A]$y$[B]$, entonces$q^{-1}[A]$y$q^{-1}[B]$serían conjuntos abiertos disjuntos en$X$, y esto no puede ser. Entonces$X/R$no es Hausdorff.

Para$X$podemos tomar el avión de Sorgenfrey, o la tabla de Tychonoff, o$\mathbb{R}^I$dónde$I$es incontable, por citar algunos espacios concretos que son todos Tychonoff (así Hausdorff) pero no normales.

Probé directamente que si es$X/R$es Hausdorff, entonces$R \subseteq X \times X$está cerrado en esta respuesta .

Un argumento un poco más ingenioso: dejar$\Delta'$ser la diagonal de$(X/R) \times (X/R)$que está cerrado como$X/R$es Hausdorff, y tenga en cuenta que$q \times q: X \times X \rightarrow (X/R) \times (X/R)$es continuo y$R = (q \times q)^{-1}[\Delta']$queda pues cerrado.

Así que la clausura de la relación es necesaria pero no suficiente para Hausdorff$X$.

En cuanto a la segunda pregunta: supongamos que$f: X \rightarrow Y$es un mapa de cociente en el espacio de Hausdorff$Y$. Definir$R_f = \{(x,x') \in X^2 : f(x) = f(x')\}$, la relación de equivalencia inducida por$f$. Los hechos estándar en espacios cocientes muestran que$X/R_f$es homeomorfo a$Y$usando el mapa inducido por$f$. Dejar$q: X \rightarrow X/R_f$sea ​​el mapa del cociente entonces es fácil ver que$q^{-1}[q[A]] = f^{-1}[f[A]]$para todos$A \subseteq X$. Resulta que$q$está cerrado si$f$está cerrado. Y como$R_f = (f \times f)^{-1}[\Delta_Y]$, dónde$\Delta_Y$es el (cerrado como$Y$es Hausdorff) diagonal de$Y$,$R_f$es una relación cerrada.

Entonces, por ejemplo, si$f$es abierto, continuo (por lo tanto cociente), pero no cerrado, como la proyección de$\mathbb{R}^2$en uno de sus factores, entonces$R_f$es un ejemplo de una relación cerrada con el cociente de Hausdorff (incluso métrico), tal que$q$no es un mapa cerrado.

En cuanto a la pregunta final: si$C \subset X$y$x$estaría en$\overline{C}\setminus C$,$(x,x)$estaría en$\overline{C \times C}\setminus (C \times C)$. Entonces, un conjunto no cerrado tiene un cuadrado no cerrado.

P2: NO. Si$C\subset R$y$C^2$está cerrado, tome cualquier$p\in \bar C.$Considere cualquier nbhd$W$de$(p,p).$Tenemos$W\supset U\times V$para algunos nbhds$U,V$de$p.$Dejar$T=U\cap V.$Entonces$T$es un nbhd de p, entonces$C\cap T\ne \phi.$Dejar$p'\in C\cap T.$Entonces$T^2\subset U\times V\subset W$, entonces

Una tercera respuesta a la segunda pregunta: deja$X=\mathbb{R}$y$x\sim y$si y si$x=y\lor (x>0\land y=1/x$). Entonces$R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\!:x\sim y\}$es la unión de la diagonal y una rama de una hipérbola, que es claramente cerrada. El mapa del cociente correspondiente$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathord{\sim}$mapea un conjunto cerrado$A=[1,\infty)$a$f[A]=\{\{x,1/x\}\colon x>0\}$que no está cerrado porque$\bigcup f[A]=(0,\infty)$.