Aclaraciones sobre la demostración del Teorema de Jordan-Schoenflies

Question

Aclaraciones sobre la demostración del Teorema de Jordan-Schoenflies

Matemáticas
topología general
Geometría euclidiana
topología de baja dimensión

viniciuscantocosta

Actualmente estoy revisando la prueba del Teorema de Jordan-Schoenflies por SS Cairns ( http://eretrandre.org/rb/files/Cairns1951_193.pdf ).

Encuentro que debido a que es un artículo algo antiguo, hay algunas convenciones que no me quedan claras. Quería preguntar por ellos y, con suerte, despegarme.

1)

El artículo afirma que esto se puede establecer rápidamente mediante métodos familiares. Intenté hacerlo y descubrí que usando el corolario (A) de Jordan-Schoenflies:

Pude deducir que o bien el interior de la $b_1$ está en el interior de $b_2$ o bien sus interiores están disjuntos. Supongo por hipótesis que $b_1$ y $b_2$ ambos tienen la propiedad Jordan-Schoenflies. Esta afirmación se sostiene porque si parte de $b_1$ mintió en el interior de $b_2$ solo puedo salir por el arco simple $b$ , que obliga a todos $b_1$ estar dentro del interior de $b_2$ o en $b$ , de lo contrario tenemos una curva de auto-intersección. En consecuencia, el interior de $b_1$ también está contenida en el interior de $b_2$ . El argumento si es parte de $b_1$ mintió en el exterior de $b_2$ es similar.

Entonces puedo mapear todo $E$ a sí mismo trayendo $b_1$ a un círculo, lo que hace que las cosas se vean mejor. Pero incluso en este escenario, no veo cómo eliminar $b$ Puedo probar Jordan-Schoenflies para $b_1+b_2-b'$ . ¿Alguien tiene una sugerencia?

2)

Creo que cruzar un polígono no está bien definido en este documento. Si paso la recta $y=1$ a través del vértice de un triángulo $(1,0), (0,1), (0,0)$ no tiene un punto final interior.

Supongo que puedo decir buscar a cada lado del polígono una pequeña vecindad tubular del mismo. Entonces podría definir "un camino poligonal cruza un polígono si interseca un lado del polígono, y que en un vecindario de tal intersección el camino tiene puntos en ambos lados del vecindario tubular del lado en el que se cruza". Esperaba que hubiera una definición más fácil con la que trabajar y que hiciera que este lema fuera cierto.

3)

En medio de la demostración del Lema 3.1 establece (A) y (B), lo cual está bien:

pero luego procede a probar (C):

Mi pregunta es sobre la parte (2). Aquí $\alpha$ se define anteriormente por:

Afirma que probar (C) no presenta ninguna dificultad, pero yo no pude hacerlo todavía. no me queda claro como $\alpha$ como se define tiene que venir de cualquiera de $\alpha_1$ o $\alpha_2$ . Agradecería cualquier empujón para mostrar este punto (2) de (C), Lema 3.1.

DanielWainfleet

Teorema 2.1. Dejar

C

$C$ ser un disco cerrado con

p \subset C

$p\subset C$ . arreglar un punto

x \notin C .

$x\not\in C.$ Para

x \neq y \notin p

$x\ne y\not\in p$ dejar

[x, y]

$[x,y]$ Sea el segmento de línea de

x

$x$ a

y

$y$ . Ahora deja

S (y)

$S(y)$ ser el conjunto de esos

z \in p \cap [x, y]

$z\in p\cap [x,y]$ tal que si

e

$e$ es cualquier borde de

p

$p$ y si

z \in e \cap [x, y]

$z\in e \cap [x,y]$ entonces

e \cap [x, y] = {z} .

$e\cap [x,y]=\{z\}.$ Ahora para cualquier

w \notin p

$w\not\in p$ dejar

w \in E

$w\in E$ si y si

(w = x

$(w=x$ o

S (w)

$S(w)$ tiene un número par de miembros) y sea

w \in F

$w\in F$ si y si

w \notin E .

$w\not\in E.$ No es difícil demostrar que

E, F

$E,F$ están abiertos y conectados, con

F

$F$ encerrado

Respuestas (1)

Aclaraciones sobre la demostración del Teorema de Jordan-Schoenflies

Teorema 2.1. Dejar $C$ ser un disco cerrado con $p\subset C$ . arreglar un punto $x\not\in C.$ Para $x\ne y\not\in p$ dejar $[x,y]$ Sea el segmento de línea de $x$ a $y$ . Ahora deja $S(y)$ ser el conjunto de esos $z\in p\cap [x,y]$ tal que si $e$ es cualquier borde de $p$ y si $z\in e \cap [x,y]$ entonces $e\cap [x,y]=\{z\}.$ Ahora para cualquier $w\not\in p$ dejar $w\in E$ si y si $(w=x$ o $S(w)$ tiene un número par de miembros) y sea $w\in F$ si y si $w\not\in E.$ No es difícil demostrar que $E,F$ están abiertos y conectados, con $F$ encerrado

moishe kohan · Answer 1

No leí su artículo, pero "cruzar" significa "encontrarse transversalmente". Aquí dos arcos poligonales $a, b$ en el plano se dice que se encuentran transversalmente (o "cruzan") en un punto $p$ si hay un homeomorfismo PL local de una vecindad de $p$ a $R^2$ que envía $a$ a un intervalo en el eje x y $b$ a un intervalo del eje y (y envía $p$ al origen).

En lugar de (o además de) seguir el artículo de Cairns, sugeriría el más reciente

Thomassen, Carsten , El teorema de Jordan-Schönflies y la clasificación de superficies , Am. Matemáticas. Lun. 99, N° 2, 116-130 (1992). ZBL0773.57001 .

De hecho, comencé mi intento de comprender la prueba de Jordan-Schoenflies con el artículo de Thomassen, pero me resultó más difícil de abordar. Por ejemplo, en el Lema 2.3 se supone que para una curva de Jordan todas las regiones del complemento de C tienen C como frontera. Entonces me quedé atascado, porque las regiones de R^2\C a priori solo significan sus componentes conectados. Probablemente sea una consecuencia de que la curva sea simple, pero no pude probar eso y él tampoco proporciona una prueba.
@viniciuscantocosta Sugiero hacer una pregunta aparte con respecto a este punto.
Tienes razón, gracias por la sugerencia. Mi punto principal con el comentario fue señalar que había intentado investigar su sugerencia antes de publicar mi pregunta.

Aclaraciones sobre la demostración del Teorema de Jordan-Schoenflies

viniciuscantocosta

DanielWainfleet

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moishe kohan

viniciuscantocosta

moishe kohan

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