(0,1)→R2(0,1)→R2(0,1)\to\mathbb{R}^2 inyectivo, continuo, no un homeomorfismo en la imagen

Question

(0,1)→R2(0,1)→R2(0,1)\to\mathbb{R}^2 inyectivo, continuo, no un homeomorfismo en la imagen

Matemáticas
topología general
ejemplos-contraejemplos

fatoddsun

Considere el mapa

γ : (0, 1) \to R^{2}, t \mapsto (porque (2 π t), pecado (2 π t)) .

$\gamma\colon (0,1)\to\mathbb{R}^2,\ t\mapsto (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)).$ Este es un ejemplo de un mapa que es continuo e inyectivo pero no un homeomorfismo en la imagen, ya que el inverso no podría ser continuo. De hecho, dos puntos arbitrariamente cerca uno del otro en un pequeño vecindario de

(1, 0)

$(1,0)$ iría muy lejos en la preimagen. Por definición, una función es continua si la preimagen de cada conjunto abierto está abierta en el dominio. ¿Cómo podría encontrar un conjunto abierto en el soporte de esta curva que se envía a un conjunto no abierto en el intervalo?

Georges Elencwajg

"¿Cómo podría encontrar un conjunto abierto...": no puedes, porque

γ

$\gamma$ es un homeomorfismo sobre su imagen. ¿Puedes ver tu falacia?

Ilia

Pista: el dominio de

γ

$\gamma$ debe ser mayor para que no sea un homeomorfismo.

Respuestas (1)

(0,1)→R2(0,1)→R2(0,1)\to\mathbb{R}^2 inyectivo, continuo, no un homeomorfismo en la imagen

"¿Cómo podría encontrar un conjunto abierto...": no puedes, porque $\gamma$ es un homeomorfismo sobre su imagen. ¿Puedes ver tu falacia?
Pista: el dominio de $\gamma$ debe ser mayor para que no sea un homeomorfismo.

cristian blatter · Answer 1

El mapa dado es un homeomorfismo sobre la imagen: Sea $I:=(0,1)$ , $S:=\gamma(I)$ , y considere un punto $z\in S$ . Entonces $t:=\gamma^{-1}(z)\in I$ . cualquier barrio $V$ de $t$ contiene un intervalo abierto $(a,b)$ tal que $0<a<t<b<1$ . El conjunto

Ω := {(X, y) \in R^{2} | X^{2} + y^{2} > 0, 2 π a < argumento (X, y) < 2 π b}

$\Omega:=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\ |\ x^2+y^2>0, \ 2\pi a<\arg(x,y)<2\pi b\}$ está abierto en

R^{2}

${\mathbb R}^2$ , de donde

U := Ω \cap S

$U:=\Omega\cap S$ es un subconjunto abierto de

S

$S$ que contiene el punto

z

$z$ . Por lo tanto

U

$U$ es un barrio abierto de

z

$z$ , y

γ^{- 1} (U) = (a, b) \subset V

$\gamma^{-1}(U)=(a,b)\subset V$ .

Aquí hay un ejemplo de un mapa inyectivo continuo. $f:\ I\to {\mathbb R}^2$ que no es un homeomorfismo sobre su imagen:

F (t) := {\begin{cases} (6 t - 1, 0) & (0 < t \leq \frac{1}{3}) \\ (2 - 3 t, 3 t - 1) & (\frac{1}{3} \leq t \leq \frac{2}{3}) \\ (0, 3 - 3 t) & (\frac{2}{3} \leq t < 1) \end{cases} .

$f(t)\ :=\ \cases{(6t-1,0) & $\bigl(0 < t\leq{1\over3}\bigr)$\cr (2-3t, 3t-1) & $\bigl({1\over3}\leq t\leq{2\over3}\bigr)$ \cr (0,3-3t) & $\bigl({2\over3}\leq t < 1\bigr)$ \cr}\quad.$ Dibujando una figura uno ve que el mapa inverso

f^{- 1}

$f^{-1}$ no es continua en

(0, 0) = f (\frac{1}{6})

$(0,0)=f\bigl({1\over6}\bigr)$ .

myfig.tif

Wow: ¡así que estaba completamente equivocado desde el principio! ¡Muchas gracias por señalar esto! Entonces... ¿puedes encontrar un ejemplo de un mapa? $(0,1)\to\mathbb{R}^2$ continua e inyectiva que no es un homeomorfismo sobre la imagen?
Muchas gracias... pero todavía tengo que encontrar un conjunto abierto en $S$ tal que su preimagen en $I$ no está abierto Supongo que debería mirar el origen... pero aún no puedo encontrarlo...
@fatoddsun, con respecto a mi ejemplo: $f^{-1}(0,0)={1\over6}$ , pero para cualquier conjunto abierto $\Omega\subset{\mathbb R}^2$ que contiene $(0,0)$ , por pequeño que sea, el conjunto $f^{-1}(S\cap\Omega)$ contiene puntos cercanos a $1$ , de donde lejos de ${1\over6}$ .
@fatoddsun No puedes. El teorema de la invariancia del dominio dice que cualquier aplicación continua e inyectiva $f$ definido en un subconjunto abierto $O$ de cualquier $\mathbb{R}^n$ con imagen en algunos $\mathbb{R}^m$ será un homeomorfismo entre $O$ y $f[O]$ . La invariancia total del dominio es probablemente una exageración para el caso $n=1, m=2$ que tiene aquí, una especie de argumento de conexión probablemente debería funcionar.
¡Espera espera espera! ¡Creo que nosotros (yo, en particular...) nos estamos confundiendo un poco! Estamos diciendo que el mapa $f$ definido por Christian Blatter NO es un homeomorfismo en la imagen, pero sigue siendo un mapa continuo, ¿no es así? Por lo tanto, me equivoqué al pedir un conjunto abierto en $f(I)$ ¡cuya preimagen no estaba abierta ya que esta es la definición de continuidad! Lo que me gustaría encontrar es un conjunto abierto en $I$ que se asigna a un conjunto no abierto en $f(I)$ , y esto debe existir, de lo contrario $f$ estaría abierto, por lo tanto, un homeomorfismo en la imagen. ¿Tengo razón, ahora?
@fatoddsun: Había comentado que su comentario "Muchas gracias..." no estaba en lo cierto, pero no reaccioné en ese momento. Ahora puedo responder: El conjunto $U:=\bigl({1\over12},{1\over4}\bigr)$ está abierto en $I$ , pero su imagen $f(U)$ (un segmento horizontal de longitud $1$ centrado en $(0,0)$ ) no está abierto en $S$ .

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