Cada espacio mínimo de Hausdorff es H-cerrado

Encontré la siguiente prueba en el artículo de Horst Herrlich:$T_v$-Abgeschlossenheit und$T_v$-Minimalität, Mathematische Zeitschrift, volumen 88, número 3, 285-294, DOI: 10.1007/BF01111687 . La prueba se da allí con mayor generalidad; para$T_v$-mínimo y$T_v$-espacios cerrados, donde$v\in\{2,3,4\}$.

Aquí hay una traducción de la prueba de H. Herrlich:$\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}$

Dejar$(X,\mc T)$ser un espacio que no es H-cerrado. Entonces existe un$T_2$-espacio$(X',\mc T')$tal que$X'=X\cup\{a\}$y$X$no está cerrado en$(X',\mc T')$. Si elegimos un elemento arbitrario$x_0\in X$entonces

$$\mc T''=\{M; M\in\mc T; x_0\in M \Rightarrow M\cup\{a\}\in\mc T'\}$$ es un$T_2$-topología en$X$que es estrictamente más débil que$\mc T$. Por eso$(X,\mc T)$no es$T_2$-mínimo.

Algunos detalles menores:

• la topología$\mc T''$es Hausdorff: Si tenemos$x_0\ne y$,$y\in X$entonces hay$\mc T'$-barrios$U_x\ni x$,$V_1\ni y$que son disjuntos. Del mismo modo, tenemos$U_a\ni a$,$V_2\ni y$, que son disjuntos. Por eso$U_x\cup (U_a\cap X)$y$V_1\cap V_2$son$\mc T''$-barrios que separan los puntos$x$y$y$. Los puntos diferentes de$x_0$tienen los mismos barrios que en$\mc T$.

• El hecho de que$\mc T''$es estrictamente más débil que$\mc T$se sigue del hecho de que$\{a\}$no está aislado en$X'$(equivalentemente,$X$no está cerrado en$X'$). Desde$(X,\mc T')$es Hausdorff, tenemos barrios disjuntos$U_{x_0}\ni x$y$U_a\ni a$, que separan$x_0$y$a$en este espacio El conjunto$U_{x_0}$no está abierto en$(X,\mc T'')$.

El siguiente ejemplo se da en el libro de Willard, Problema 17M/4, como ejemplo de un espacio H-cerrado que no es compacto.

Dejar$\newcommand{\N}{\mathbb N}\N^*=\{0\}\cup\{\frac1n; n\in\mathbb N\}$con la topología heredada de la línea real. (Es decir, una secuencia convergente). Luego tomamos un producto topológico$\N\times\N^*$, dónde$\N$tiene topología discreta. (Es decir, esta es solo la suma topológica de muchas secuencias enteras numerables). Adjuntamos un nuevo punto$q$con la base de vecindad que consta de los conjuntos de la forma$U_{n_0}(q)=\{(n,1/m)\in\N\times\N^*; n\ge n_0\}\cup\{q\}$. (Es decir,$U_{n_0}(q)$consta de puntos aislados en todas menos en un número finito de secuencias.) Llamemos a este espacio$X$.

Nota: Un espacio similar se describe como ejemplo 100 en Contraejemplos en topología p.119-120 . Si observa solo la mitad izquierda de la imagen que se proporciona en este libro, representa una vecindad básica típica del punto$q$.

Un espacio topológico se llama semirregular , si los conjuntos abiertos regulares forman una base. Un conjunto$U$es normal abierto si$U=\operatorname{Int} \overline U$. Se sabe que un espacio$X$es Hausdorff minimal si y solo si es H-cerrado y semirregular.

El espacio$X$descrito anteriormente es un espacio H-cerrado, pero no es semirregular, ya que el cierre de cada conjunto$U_{n_0}(q)$contiene todos los puntos$(n,0)$para$n\ge n_0$en su interior. Por lo tanto, ningún conjunto abierto regular que contenga$p$está contenido en el conjunto básico$U_{n_0}(q)$. Dado que este espacio no es semirregular, no es mínimo de Hausdorff. Por lo tanto, este es un ejemplo de un espacio topológico cerrado por H pero no mínimo de Hausdorff.