Ejemplos de dos topologías de espacio vectorial diferentes con los mismos funcionales continuos

Question

Ejemplos de dos topologías de espacio vectorial diferentes con los mismos funcionales continuos

continuidad
Matemáticas
topología general
análisis funcional
ejemplos-contraejemplos
espacios vectoriales topológicos

zhang yuhan

Pregunta: Dado un espacio vectorial $V$ , es posible dotarlo de dos topologías de espacio vectorial diferentes $\mathcal T_1$ y $\mathcal T_2$ tal que cualquier funcional lineal en $V$ es continua en el sentido de $\mathcal T_1$ si sólo si es continua en el sentido de $\mathcal T_2$ ?

Por topología de espacio vectorial me refiero a una topología tal que la suma vectorial y la multiplicación escalar son continuas.

Creo que es una pregunta bastante básica, pero no pude encontrar una respuesta.

Editar: antes de hacer esta pregunta, en realidad estaba pensando si el dual de $C_c^\infty(\mathbb R^n)$ permanece igual cuando al espacio se le da la topología habitual de funciones de prueba y la topología del subespacio de $C_c(\mathbb R^n)$ . De hecho, no pensé en la pregunta general antes de publicarla en este sitio, y no quise hacerlo para que esta pregunta se convirtiera en una "pregunta de red caliente".

Kavi Rama Murthy

El espacio de todas las sucesiones finitas distintas de cero con

ℓ^{p}

$\ell^{p}$ y

ℓ^{q}

$\ell^{q}$ métricas con

p, q \in (0, 1), p \neq q

$p,q \in (0,1), p \neq q$ es un ejemplo el dual es

{0}

$\{0\}$ para ambas métricas.

zhang yuhan

@KaviRamaMurthy ¡Gracias! Pero creo que sería mucho más difícil encontrar un ejemplo para espacios normados. Tal vez debería hacer otra pregunta.

Respuestas (1)

Ejemplos de dos topologías de espacio vectorial diferentes con los mismos funcionales continuos

El espacio de todas las sucesiones finitas distintas de cero con $\ell^{p}$ y $\ell^{q}$ métricas con $p,q \in (0,1), p \neq q$ es un ejemplo el dual es $\{0\}$ para ambas métricas.
@KaviRamaMurthy ¡Gracias! Pero creo que sería mucho más difícil encontrar un ejemplo para espacios normados. Tal vez debería hacer otra pregunta.

naranja · Answer 1

Este es un hecho básico:

Dejar $V$ sea un espacio vectorial topológico (con topología $\tau_1$ ). Considere la topología débil $\tau_2$ en $V$ (dado por la dualidad $V\times V^{\star}\to k$ ). Entonces $V$ con $\tau_2$ tiene el mismo dual topológico que $V$ con $\tau_1$ (fácil de probar).

$\bf{Added:}$ Conclusión: para un espacio vectorial topológico $(V, \tau_1)$ , la topología débil en $V$ es la topología más pequeña que tiene el mismo dual. Creo que existe la noción de la topología más fuerte con el mismo dual. ¿Quizás relacionado con espacios bornológicos? Lo recuerdo vagamente. Referencia: Schaeffer - Espacios vectoriales topológicos

$\bf{Added:}$ Como mencionó @Jochen, la topología más fuerte es la topología Mackey .

Ejemplos de dos topologías de espacio vectorial diferentes con los mismos funcionales continuos

zhang yuhan

Kavi Rama Murthy

zhang yuhan

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naranja

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