Oscilador biacoplado: Duda en encontrar modos normales y frecuencia natural

Question

Oscilador biacoplado: Duda en encontrar modos normales y frecuencia natural

Física
modos normales
osciladores acoplados
oscilador armónico
mecanica-newtoniana

Soham

Quiero encontrar la frecuencia natural de un sistema de dos osciladores acoplados como este:

Mi libro lo hace de esta manera, pero realmente no lo entiendo.

Las ecuaciones de movimiento del péndulo son:

$I \frac{d^{2} θ_{1}}{d t^{2}} = - {METRO}_{efecto} gramo L pecado θ_{1} - k {yo}^{2} (pecado θ_{1} - pecado θ_{2})$ $I\frac{d^2\theta_1}{dt^2}=−M_\text{eff}\ gL\sin \theta_1− \kappa l^2(\sin \theta_1−\sin \theta_2)$

$I \frac{d^{2} θ_{2}}{d t^{2}} = - {METRO}_{efecto} gramo L pecado θ_{2} + k {yo}^{2} (pecado θ_{1} - pecado θ_{2})$ $I\frac{d^2\theta_2}{dt^2}=−M_\text{eff}\ gL\sin \theta_2+ \kappa l^2(\sin \theta_1−\sin\theta_2)$

Para encontrar las frecuencias naturales del sistema, tomamos la suma y resta de las ecuaciones y obtenemos (Usando la aproximación de ángulo pequeño):

$I (\frac{d^{2} θ_{1}}{d t^{2}} + \frac{d^{2} θ_{2}}{d t^{2}}) = - {METRO}_{efecto} gramo L (θ_{1} + θ_{2})$ $I\left(\frac{d^2\theta_1}{dt^2}+\frac{d^2\theta_2}{dt^2}\right)=−M_\text{eff}\ gL(\theta_1+\theta_2)$

y

$I (\frac{d^{2} θ_{1}}{d t^{2}} - \frac{d^{2} θ_{2}}{d t^{2}}) = - {METRO}_{efecto} gramo L (θ_{1} - θ_{2}) - 2 k {yo}^{2} (θ_{1} - θ_{2})$ $I\left(\frac{d^2\theta_1}{dt^2}-\frac{d^2\theta_2}{dt^2}\right)=−M_\text{eff}\ gL(\theta_1−\theta_2)−2\kappa l^2(\theta_1−\theta_2)$

Las dos ecuaciones anteriores están desacopladas y representan los dos modos normales del sistema acoplado. El $\theta_1+\theta_2$ El modo o el modo '+' representan el movimiento en fase del péndulo donde ambos péndulo se mueven con la misma fase (misma dirección). El $\theta_1−\theta_2$ El modo o el modo '-' representan el movimiento fuera de fase del péndulo donde el péndulo se mueve con fase opuesta (dirección opuesta).

He marcado las partes que no entiendo en negrita arriba.

Dudas:

¿ Qué se entiende por desacoplado ?
¿ Por qué las dos ecuaciones representan los modos normales ?
Por que $\theta_1+\theta_2$ representar en fase y $\theta_1-\theta_2$ representa el movimiento fuera de fase ?

Respuestas (2)

Oscilador biacoplado: Duda en encontrar modos normales y frecuencia natural

usuario8736288 · Answer 1

Suponer $\alpha = \theta_{1} +\theta_{2}$ y $\beta = \theta_{1}-\theta_{2}$ entonces la primera ecuación solo depende de una sola variable $\alpha$ y el segundo en $\beta$ , por lo que las ecuaciones están desacopladas.
Decir que las ecuaciones están desacopladas, o que la matriz del sistema es diagonal, o que las ecuaciones definen los vectores propios y los valores propios, o que las ecuaciones definen los modos normales y las frecuencias naturales, todo significa lo mismo, que yo sepa .
$\theta_{1}=(\alpha + \beta)/2$ , $\theta_{2}=(\alpha-\beta)/2$ , si el sistema oscila en su primer modo normal solo entonces $\beta=0$ , significado $\theta_{1}=\theta_{2}$ , las dos masas tienen un movimiento en fase. Solo con el segundo modo $\alpha=0$ , $\theta_{1}=-\theta_{2}$ , las dos masas tienen un movimiento desfasado.

Juan Alexiou · Answer 2

Considerar $\theta_{\rm sum} = \theta_1 + \theta_2$ como una variable y $\theta_{\rm diff} = \theta_1 - \theta_2$ como segunda variable.

Las dos ecuaciones se convierten

\begin{aligned} I \frac{d^{2}}{d t^{2}} θ_{s tu metro} & = - ({METRO}_{efecto} gramo L) θ_{s tu metro} \\ I \frac{d^{2}}{d t^{2}} θ_{d i F F} & = - ({METRO}_{efecto} gramo L - 2 k {yo}^{2}) θ_{d i F F} \end{aligned}

$\begin{aligned} I \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \theta_{\rm sum} & = − \left(M_\text{eff}\ g L\right) \theta_{\rm sum} \\ I \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2} \theta_{\rm diff} & = − \left( M_\text{eff}\ gL−2\kappa l^2\right) \theta_{\rm diff} \end{aligned}$

Ahora está claro que son dos ecuaciones desacopladas. Cada ecuación diferencial es sólo en términos de una incógnita.

Ahora bien, si los dos péndulos estuvieran desfasados por la misma cantidad $\theta_{\rm sum} = \theta + (-\theta) =0$ y $\theta_{\rm diff} = \theta - (-\theta) = 2 \theta$ . Entonces, la segunda ecuación describe la vibración fuera de fase.
Por el contrario, si están en fase $\theta_{\rm sum} = 2 \theta$ y $\theta_{\rm diff} = 0$ , lo que significa que la primera ecuación describe el movimiento en fase.

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Soham

Respuestas (2)

usuario8736288

Juan Alexiou

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