Oscilador armónico 1D simple (clásico, no amortiguado): ¿cómo representar la trayectoria elíptica del espacio de fase en forma polar para una elipse?

Considerando un oscilador armónico 1D clásico, no amortiguado (por ejemplo, masa metro oscilando a lo largo X -eje unido al resorte con constante k ) -- descrito por hamiltoniano (para energía constante mi )

mi = pag 2 / 2 metro + k X 2 / 2 ,
qué sistema sigue una trayectoria elíptica en el espacio de fase correspondiente ( pag , X ) :

Quiero formular una ecuación para esta trayectoria de espacio de fase en forma polar para una elipse (origen en el centro de la elipse), que tiene ejes semi-mayor/menor a / b , usando la forma polar estándar:

r ( θ ) = a b ( b porque ⁡ ( θ ) ) 2 + ( a pecado ⁡ ( θ ) ) 2

No sé qué serían "a" y "b" en términos de "m", "k" y "E". ¿Puede sugerir cuáles podrían ser?

Parece que, en general, el cuadrado del radio de la elipse estaría en unidades de energía (kg-m^2/s^2), así que estoy tratando de encontrar cuáles serían "a" y "b". tal que r^2(theta) estaría en unidades de energía. ¿O me equivoco al suponer que r 2 ( θ ) sería en unidades de energía?

Cualquier idea/sugerencia apreciada.

Toda elipse no tiene un 'centro': tiene dos puntos focales. Del mismo modo, no tiene radio...
OK, mi error por no describir correctamente. Tenía la intención de transmitir como se describe aquí (con "centro" en el semieje mayor a la mitad de los puntos focales): en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#Polar_form_relative_to_center
OK, eso ha sido editado.

Respuestas (1)

No hay mucho que sugerir. Simplemente escribe tu ecuación en términos de cantidades/razones adimensionales:

1 = X 2 2 mi / k + pag 2 2 mi metro     ⇝ a = 2 mi / k ,     b = 2 mi metro .
Es decir ahora, que el eje semimayor, a , está en unidades de longitud y el semieje menor, b , en unidades de cantidad de movimiento. Suponiendo que ni desaparezca ni explote, si mide x en unidades de a y p en unidades de b , realmente tiene un círculo.

Si mide las amplitudes espaciales y los momentos en unidades fijas, entonces a y b también son números adimensionales multiplicados por estas mismas unidades; esto se llama adimensionalización. Dándoles los mismos nombres en la forma polar,

r ( θ ) = 1 porque ⁡ ( θ ) 2 / a 2 + pecado ⁡ ( θ ) 2 / b 2     .

Entonces es evidente que r ( 0 ) = a , y r ( π / 2 ) = b . No tiene sentido etiquetar los ejes de la elipse con unidades de diferentes dimensiones, ya que cantidades como r se definen un poco oximorónicamente y confundirían a los lectores que no siguieron la discusión anterior. Entonces, la no dimensionalización es la opción más simple.

Editar en comentario :

No, la excentricidad no tiene sentido, ya que las unidades de x y las de p son diferentes. Puede optar por medir x en m y p en kg m/s, lo que fija a=A m y b= B kg m/s , en cuyo caso la excentricidad numérica pura sería

mi = 1 − B 2 / A 2   ,
pero si elige medir x en 1/2 m, entonces A sería el doble de la A anterior y la excentricidad sería diferente. La expresión anterior para r tiene números adimensionales A y B en lugar de ayb una vez que haya fijado sus unidades .

Entonces, reescalar la abscisa o la ordenada ajusta el círculo a una elipse de excentricidad arbitraria. Por el contrario, la trayectoria del espacio de fase del oscilador genérico es siempre un círculo, en unidades naturales, como lo muestra la imagen estándar no dimensional, y preocuparse por las elipses es conceptualmente una máquina de no hacer nada.

Creo que sigo tu respuesta, en el sentido de que si hago las sustituciones de variables, por ejemplo, X=x*sqrt(k/2E) y P=p/sqrt(2Em) tengo el círculo P^2+X^2= 1. En la ecuación de r(theta) anterior, me equivoqué al pensar que las unidades de a y b tenían que ser las mismas para poder sumar "cos^2(theta)/a^2" y "sin^ 2(theta)/b^2". ¿Hay alguna medida significativa de la excentricidad (sqrt(1-b^2/a^2)) de la elipse 1=x^2/a^2 + p^2/b^2 , incluso si a y b no tienen las mismas unidades? Gracias de nuevo por tu ayuda.
Oscilador armónico 1D simple (clásico, no amortiguado): ¿cómo representar la trayectoria elíptica del espacio de fase en forma polar para una elipse?
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