¿Existe un análogo al vector de Runge-Lenz para un potencial armónico esféricamente simétrico en 3D?

Sí , hay un análogo del vector de Laplace-Runge-Lenz, ¡aún más! El oscilador armónico N -dimensional es uno de los pocos sistemas superintegrables donde tiene un número máximo (2 N - 1) de constantes independientes del movimiento, lo que lleva a trayectorias cerradas en mecánica clásica y degeneraciones de espectro en QM. Es solo que los osciladores de dimensiones superiores se separan y son triviales de resolver, por lo que durante mucho tiempo la gente ignoró sus simetrías. Bien, la simetría real, incluso para el oscilador clásico, es U(N) , por lo que las construcciones geométricas (Sáenz) requieren vectores complejos, pero no nos detengamos en eso.

Pero, recuerda, en el caso del vector LRL, la mayoría de las cargas conservadas son dependientes, por lo que, en el caso del potencial de Coulomb, solo hay 5 cargas independientes, aunque la simetría es SO(4), con 6 generadores encima. del hamiltoniano, los 3 momentos angulares, L , y las 3 componentes del vector LRL, A . Aún así, ese vector obedece a dos restricciones con L y E , por lo que las cargas independientes son 5: E , L , y solo una de las 3 componentes de A. Así, la trayectoria en el espacio de fase 6D es una línea, la intersección de 5 hipersuperficies. ¡Uf! ¡uno más y lo habría cruzado en un punto en el espacio de fases y la evolución congelada! Por lo tanto, podemos usar todo el A , confiando en que dos de sus componentes dependen de todos los demás.

Bien, ahora, para ser específicos, y según su pregunta, veamos el oscilador armónico en 3D, entonces el espacio de fase 6D, configurando m = 1 = ω , es decir, absorbiendo aquellos en nuestras unidades:

$$H=(p_x^2 + x^2 + p_y^2 + y^2 + p_z^2 + z^2 )/2.$$ Sorprendentemente, el grupo de simetría es SU(3) , con 8 cargas. Dos de ellos son obvios: más allá de E , son, digamos, $E_x= (p_x^2 + x^2 )/2$y $E_y= (p_y^2 + y^2 )/2$, los cargos de subálgebra de Cartan! Por supuesto, $E_z$depende de ellos, $=E-E_x-E_y$.

Podríamos pasar mucho tiempo eligiendo y eligiendo el resto, pero puede convencerse tomando sus PB con el hamiltoniano arriba de que una rotación alrededor del eje z ,

$$L_z= x p_y-y p_x,$$ y uno alrededor del eje x , $$L_x= y p_z-z p_y,$$ se conservan; podría llevar un poco más de trabajo demostrar que los generadores SU(3) restantes dependen, de hecho, de estos 5 enumerados, pero eso es lo que hicieron los pioneros:

• Jauch & Hill 1940

• Panadero 1956

• AW Saenz 1949, On Integrals of Motion of the Runge Type in Classical and Quantum Mechanics , tesis doctoral de la Universidad de Michigan.

Finalmente, una indulgencia, Curtright & Zachos 2003 ; en línea : Los cargos están organizados para demostrar trivialmente que esto, como todos los sistemas superintegrables al máximo, se puede expresar de manera más elegante en términos de corchetes de Nambu , en lugar de PB, después de una reducción natural ad dimidium , pero se podría argumentar que esto es la guinda del pastel. Por otro lado, eso es lo que esencialmente estás pidiendo. Los osciladores separables se resuelven manifiestamente mediante inspección y no necesitan métodos de alta potencia. Por el contrario, pueden servir para ilustrar y racionalizar tales. Esto lo hacen.

Editar en QM : mecánicamente cuántica, la estructura SU (3) es más reconocible. Uso de los tripletes de operadores de creación$a^\dagger_i$en el mapa de Jordan-Schwinger , las 5 cargas invariantes anteriores equivalen a matrices bilineales saturadas de Gell-Mann:$a^\dagger \!\!\cdot a; ~ a^\dagger \lambda_3 a; ~a^\dagger \lambda_8 a; ~a^\dagger \lambda_2 a; ~ a^\dagger \lambda_7 a$.