Ordenación temporal de operadores de fermiones

Si A y B son operadores de fermiones, entonces el ordenamiento temporal se define como

T ( A B ) = { A B , si  B  precede  A − B A , si  A  precede  B ( 1 )
Por otra parte, el operador ordenante temporal que surge en la solución de
i ∂ t tu ( t , t 0 ) = H I ( t ) tu ( t , t 0 ) ,
como
tu ( t , t 0 ) = T [ mi − i ∫ t 0 t H I ( τ ) d τ ] ( 2 )
es el operador de ordenamiento temporal habitual (bosónico) incluso si H I tiene campos de fermiones; no podemos usar la definición de ordenamiento temporal que se muestra en (1) en la derivación de (2) porque la introducción de un signo negativo cuando se invierte el orden de los operadores de fermiones arruina el conteo combinatorio y no producirá el exponencial en (2). (En 2), tu ( t , t 0 ) es el operador de evolución unitaria en la imagen de interacción y H I la interacción hamiltoniana.)

Entonces, ¿la definición de ordenamiento temporal que se muestra en (1) no es inconsistente con la definición utilizada en (2)? ¿Qué me estoy perdiendo?

Respuestas (1)

Es porque siempre aparece un número par de campos fermiónicos en el hamiltoniano. por ejemplo el Lagrangiano de Dirac para electrones libres: L = i ℏ ψ ¯ ( γ m ∂ m − metro ) ψ tiene dos ψ s. La invariancia de la teoría sobre una transformación de calibre global requiere que cada término en el Lagrangiano tenga un número par de campos fermiónicos. Dado que un número par de campos fermiónicos conmutan dentro del operador de ordenación temporal, no hay un signo menos adicional.

Buena observación sobre QED, que tiene invariancia de calibre global. Entonces, la maquinaria de cálculo perturbativo en QFT se basa en la siguiente suposición implícita: cada interacción hamiltoniana debe tener un número par de campos de fermiones, incluso si la teoría no es globalmente invariante de calibre.
La invariancia de calibre global proviene de la mecánica cuántica y no tiene nada que ver con la teoría de campos. Puede cambiar la fase de todos los estados en el espacio de Hilbert y físicamente nada cambiaría. Por lo tanto, es extraño si escribe una teoría de campo "cuántica" que no es invariante de calibre global.
La invariancia de calibre global de la teoría requiere que la acción permanezca invariante bajo un cambio de fase del campo. No creo que sea relevante un cambio de fase de los estados en el espacio de Hilbert. Si considera QFT escalar phi^4, la acción no es invariante bajo phi -> phi * e^{i \theta}. Entonces, a menos que me esté perdiendo algo, el phi^4 QFT no tiene invariancia de calibre global.
Buen punto, estaba pensando en el funcionamiento de los campos de partículas en el vacío, por ejemplo. | pag >≈ ψ † | 0 > . entonces un cambio de fase de | pag > El estado dará como resultado una transformación de indicador en ψ campo. Tal vez la relación sea solo para campos de partículas, ya no estoy seguro.
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