¿Es el espacio de Hilbert de un oscilador armónico fermiónico un espacio de Hilbert sobre el álgebra de Grassmann?

Question

¿Es el espacio de Hilbert de un oscilador armónico fermiónico un espacio de Hilbert sobre el álgebra de Grassmann?

Física
fermiones
integral de trayectoria
Grassmann-números
mecánica cuántica
oscilador armónico

Alex

Estoy leyendo el libro Basics of Thermal Field Theory también disponible en la página web del autor http://www.laine.itp.unibe.ch/basics.pdf

En la sección 4.1 (Integral de trayectoria para la función de partición de un oscilador fermiónico) introducen las variables de Grassmann $c$ y $c^*$ que satisfacen varias propiedades, en particular

$c$ , $c^*$ son tratadas como variables independientes, como $x$ , $p$ .
$c^2=(c^*)^2$ , $cc^*=-c^*c$
$c$ , $c^*$ se definen como anticonmutación con $\hat a$ , $\hat a ^\dagger$ también.

Estos son análogos clásicos de los operadores de creación y aniquilación fermiónicos. $\hat a$ y $\hat a ^\dagger$ . Para definir la integral de trayectoria (utilizando campos clásicos $c(\tau)$ y $c^*(\tau)$ )

\int D C (τ) D C^{*} (τ) {mi}^{- \frac{1}{h} S}

$\int \mathcal{D}c(\tau) \mathcal{D} c^*(\tau)e^{-\frac{1}{h}S}$ del oscilador armónico fermiónico introducen estados coherentes

| C ⟩ = {mi}^{- C {\hat{a}}^{†}} | 0 > .

$|c\rangle = e^{-c\hat a^\dagger} |0>.$

Así que aquí $c$ juega el papel de un "número". La única forma en que veo cómo dar sentido a esta definición es extender los escalares del espacio de Hilbert: en lugar del espacio de Hilbert bidimensional $H$ consideramos el espacio de Hilbert sobre el álgebra de Grassmann $A=\mathbb{C}<c, c^*>$ es decir, producto tensorial $H_A=A \otimes_\mathbb{C} H$ , entonces el estado coherente fermiónico es un elemento de $H_A$ , pero no un elemento de $H$ .

Entonces, para la cuantificación de fermiones necesitamos extender los escalares del espacio de Hilbert desde $\mathbb{C}$ a números de Grassmann $A$ . ¿Es eso correcto?

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/612252/2451 y enlaces allí.

qmecanico

Hola Alex, eliminé tu última subpregunta de recomendación de recursos, cf. esta meta publicación.

Cosmas Zachos

Ciertamente insisten en que las c s no son operadores (matrices); ¡no las visualizan como matrices de 2x2!

Cosmas Zachos

No estoy seguro; ver si es consistente, es decir, recoger un signo - cuando se desliza más allá de la matriz. Es evidente que están replicando estados coherentes, por lo que el valor propio de una operación de aniquilación de fermiones tiene que ser fermiónico, y los dos objetos fermiónicos deben ser anticonmutadores.

Respuestas (1)

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Hola Alex, eliminé tu última subpregunta de recomendación de recursos, cf. esta meta publicación.
Ciertamente insisten en que las c s no son operadores (matrices); ¡no las visualizan como matrices de 2x2!
No estoy seguro; ver si es consistente, es decir, recoger un signo - cuando se desliza más allá de la matriz. Es evidente que están replicando estados coherentes, por lo que el valor propio de una operación de aniquilación de fermiones tiene que ser fermiónico, y los dos objetos fermiónicos deben ser anticonmutadores.

pppqqq · Answer 1

No sé nada sobre supernúmeros, pero la construcción que mencionas para el oscilador de Fermi parece fácil de formalizar.

En la página de wikipedia dicen que el conjunto de polinomios en $n$ Los generadores de Grassmann se pueden identificar con el álgebra exterior de un espacio lineal, y en el caso de números complejos de Grassmann debemos tomar un espacio sobre el complejo. En realidad, creo que esto es un poco impreciso, ya que en la teoría cuántica de campos queremos que el $\theta$ 'arena $\theta^*$ Debe haber dos grupos independientes de generadores Grassmann. De hecho, todo funciona si identificamos el conjunto de polinomios de Grassmann con el álgebra exterior covariante:

Λ_{∙} (V \oplus V^{*}),

$\Lambda _{\bullet}(V\oplus V^*),$ dónde

V

$V$ y

V^{*}

$V^*$ son dos espacios vectoriales antiisomorfos complejos (lo he resuelto por mí mismo, así que corríjame si me equivoco).

En cualquier caso, este no es el verdadero punto de la pregunta. Suponga que tiene un conjunto de números de Grassmann $\mathscr G$ generado por dos elementos $\lbrace \theta,\theta ^* \rbrace$ . Queremos dar sentido a una expresión como $P(\theta,\theta ^*) \vert \alpha \rangle$ , y podemos hacer esto de la misma manera que nos permite multiplicar un vector real por un escalar complejo: producto tensorial.

Si el Hilbert "físico" $\mathcal H$ el espacio consta de vectores:

| ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩,

$\vert \rangle = \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle,$ dónde

α, β

$\alpha,\beta$ son números complejos ordinarios, definimos un espacio vectorial

H^{'} = G \otimes H

$\mathcal H' =\mathscr G \otimes \mathcal H$ . La multiplicación por números de Grassmann se puede definir en tensores descomponibles por:

q (PAG \otimes | ⟩) = (q PAG) \otimes | ⟩

$Q (P \otimes \vert \rangle)=(QP )\otimes \vert \rangle$ y extendida por linealidad en todo el espacio

H^{'}

$\mathcal H '$ . En particular, el antiguo

H

$\mathcal H$ puede verse como el subespacio atravesado por los elementos

1 \otimes | ⟩

$1\otimes \vert \rangle$ , y la multiplicación por el escalar

λ

$\lambda$ en

H

$\mathcal H$ concuerda con la multiplicación por el "número de Grassmann"

λ

$\lambda$ en

H^{'}

$\mathcal H '$ .

Todas las demás cosas son solo manipulaciones formales, además de alguna definición ad-hoc, por ejemplo, para dar sentido a la conjugación. $P\vert \rangle \to \langle \vert P^*$ . Por ejemplo, puede introducir el "estado coherente"

| θ ⟩ = | 0 ⟩ + θ | 1 ⟩,

$\vert \theta \rangle = \vert 0\rangle + \theta \vert 1\rangle,$ que es un vector propio de

a \equiv {id}_{G} \otimes a

$a\equiv\text {id}_{\mathscr G} \otimes a$ :

a | θ ⟩ = θ | θ ⟩,

$a\vert \theta \rangle = \theta \vert \theta \rangle,$ lo cual puede ser la razón por la cual su libro presenta los números de Grassmann.

En los comentarios propuse la misma idea: los espacios de Hilbert para fermiones no han terminado $\mathbb{C}$ , pero sobre álgebra de Grassman por extensión de escalares. Parece una interpretación razonable, pero sería más feliz si veo una referencia con una explicación clara de este punto como "estándar" para la cuantificación de los campos de Fermi.
Hola Alex, todos los libros que he visto multiplican intuitivamente vectores por números anticonmutantes sin más comentarios, así que no puedo ayudarte. Esta es mi forma personal de darle sentido, y no veo ninguna dificultad en ello, pero entiendo que le gustaría ver un tratamiento "estandarizado". Puede intentar leer Swanson, "Integrales de ruta y procesos cuánticos", que tiene una sección bastante extensa sobre el tema, pero no entra en estos detalles (un poco tediosos). Espero que esto ayude

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Alex

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