Funciones multivariables de los números de Grassmann

Estoy tratando de derivar la forma cerrada del estado coherente fermiónico definido por la relación:

(4.10) F i | η → ⟩ = η i | η → ⟩

Mi libro (Atland y Simons, Condensed Matter Field Theory, páginas 160-163 sugiere que use el estado

(4.17) | η → ⟩ = Exp ⁡ [ − ∑ i η i F i † ] | 0 ⟩

donde el η i son números de Grassmann: { η i , η j } = 0 . He notado que Atland y Simons usan regularmente la relación:

Exp ⁡ [ − ∑ i η i F i † ] = ( 1 − ∑ i η i F i † )

(ver, por ejemplo, la nota al pie 3 en la página 163, o las soluciones a los problemas en la página 181). ¿Por qué es correcta esta igualdad? Yo pensaría que si tenemos, por ejemplo, i que van desde 1 a 2 entonces:

Exp ⁡ [ − η 1 F 1 † − η 2 F 2 † ] = 1 + ∂ η 1 Exp ⁡ [ . . . ] η 1 + ∂ η 2 Exp ⁡ [ . . . ] η 2 + 1 2 ∂ η 1 ∂ η 2 Exp ⁡ [ . . . ] η 2 η 1 + 1 2 ∂ η 2 ∂ η 1 Exp ⁡ [ . . . ] η 1 η 2

Al notar que los dos últimos términos son iguales por relaciones de anticonmutación, encontramos que:

Exp ⁡ [ − η 1 F 1 † − η 2 F 2 † ] = 1 − η 1 F 1 † − η 2 F 2 † + η 1 η 2 F 1 † F 2 †

En general, la expansión de Taylor de una exponencial de una combinación lineal de norte Las variables de Grassmann deben tener términos distintos de cero hasta el orden norte en las variables de Grassmann? ¿Hay alguna razón por la que Altland y Simons ignoren por completo los términos del pedido? > 1 ?

Respuestas (2)

La fórmula que la Ref. 1 usos es

(*) Exp ⁡ ( − ∑ j η j a j † )   =   ∏ j Exp ⁡ ( − η j a j † )   =   ∏ j ( 1 − η j a j † ) .

  1. Árbitro. 1 aplica correctamente [el conjugado hermitiano de] eq. (*) al sostén en la respuesta (a) en la p. 181. No hay error en la p. 181.

  2. Árbitro. 1 no escribe una suma/producto encima j en la nota al pie 3 de la p. 163. En lugar de Ref. 1 solo está considerando un solo elemento i . En particular, no hay una suma implícita sobre repetidos i ¡índices! La nota al pie 3 pretende ser una prueba de que la definición (4.17) para un estado coherente de operadores fermiónicos tiene la propiedad (4.10). Para terminar la prueba, se supone que el lector debe multiplicar en ambos lados con el que falta. ∏ j ≠ i factor, que de todos modos es efectivamente un espectador pasivo en el cálculo. El cálculo completo del ket es, por cierto, una versión hermitiana conjugada de la respuesta (a) en la p. 181.

Referencias:

  1. Altland y Simons (A&S), Teoría del campo de materia condensada, 2.ª edición, 2010.

Para un número de Grassmann univariable η 1 se mantiene η 1 2 = 0 porque { η 1 , η 1 } = 0 . Por lo tanto, todas las potencias superiores de este número de Grassmann se desvanecen. Sin embargo, si hay varios números de Grassmann, se pueden calcular combinaciones lineales de estos números de Grassmann. todavía se mantiene η i 2 = 0 para cada i , pero η i η j ≠ 0 para i ≠ j . Puedes demostrar que si tomas el norte + k -ésima potencia de la combinación lineal ∑ i = 1 norte a i η i para números conmutativos ordinarios a i se desvanece por k > 0 porque en cada término ocurren números cuadrados de Grassmann.

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