Representación del número de Grassmann para fermiones

¿Cómo se pueden representar simultáneamente operadores fermiónicos (denotados con sombreros) y sus correspondientes variables de Grassmann (denotadas sin sombreros), de modo que se produzcan todas las relaciones de anticonmutación entre ellos y también entre estados?

C ^ C ^ † + C ^ † C ^ = 1 C 2 = 0 C ¯ 2 = 0 C C ¯ + C ¯ C = 0 C C ^ + C ^ C = 0 C C ^ † + C ^ † C = 0 C ¯ C ^ + C ^ C ¯ = 0 C ¯ C ^ † + C ^ † C ¯ = 0 C | 0 ⟩ − | 0 ⟩ C = 0 C | 1 ⟩ + | 1 ⟩ C = 0 C ¯ | 0 ⟩ − | 0 ⟩ C ¯ = 0 C ¯ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ C ¯ = 0.
Parece que es imposible representar estos operadores y los números de Grassmann como matrices o ¿me equivoco? La anticonmutación con estados requiere que los números sean antihermitianos pero deben ser triangulares para satisfacer la nilpotencia, esto solo funciona para matriz cero.

En mi caso necesito que esto también funcione para dos fermiones con cuatro estados. Puedo representar operadores como matrices y estados como vectores de la siguiente manera

| 0 ⟩ = { 1 , 0 , 0 , 0 } | ↓ ⟩ = { 0 , 1 , 0 , 0 } | ↑ ⟩ = { 0 , 0 , 1 , 0 } | ↓↑ ⟩ = { 0 , 0 , 0 , 1 } C σ ^ = ( 0 d σ ↓ d σ ↑ 0 0 0 0 − d σ ↑ 0 0 0 d σ ↓ 0 0 0 0 ) C σ = ? C σ ¯ = ?
Entonces, ¿cómo debo representar estos números de Grassmann?

@ACuriousMind Sí, vi esto, estas matrices no satisfacen todas las relaciones.

Respuestas (2)

I) Sí, si OP insiste en la presencia de variables de Grassmann, es posible representar los operadores fermiónicos como matrices con la salvedad de que el espacio de estados de Fock fermiónico es un superespacio vectorial , y las matrices son supermatrices .

Si tenemos 2 operadores de creación C ^ σ † , σ ∈ { ↑ , ↓ } , entonces hay:

  • 2 estados bosónicos (1 estado de vacío | 0 ⟩ y 1 estado de dos partículas | ↑↓ ⟩ ), y

  • 2 estados fermiónicos de una sola partícula, | ↑ ⟩ y | ↓ ⟩ .

Ver también, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . Representemos los 4 estados

(1) | 0 ⟩ = ( 1 0 0 0 ) , | ↑↓ ⟩ = ( 0 1 0 0 ) , | ↑ ⟩ = ( 0 0 1 0 ) , | ↓ ⟩ = ( 0 0 0 1 ) .

como 4 vectores base en el super espacio vectorial C 2 | 2 . En otras palabras, el espacio de Fock es isomorfo a C 2 | 2 .

Los operadores fermiónicos están representados por ( 2 + 2 ) × ( 2 + 2 ) supermatrices en mi norte d ( C 2 | 2 ) = L ( C 2 | 2 , C 2 | 2 ) . tendrán cuatro 2 × 2 bloques Por ejemplo:

(2) C ^ ↑   =   ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) , C ^ ↑ †   =   ( 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ) .

Tenga en cuenta que las dos supermatrices anteriores son impares de Grassmann a pesar de que todos los elementos de matriz distintos de cero son pares de Grassmann. Esto se debe a que los elementos de la matriz distintos de cero se encuentran fuera de la diagonal. 2 × 2 Bloques Bosé-Fermi.

Además, se puede comprobar que el anticonmutador de las dos supermatrices anteriores (2) es el 4 × 4 matriz de identidad, como debería ser para imitar el álgebra CAR .

los operadores C ^ ↓ y C ^ ↓ † tienen representaciones similares en términos de supermatrices. Dejamos como ejercicio al lector su elaboración.

Tenga en cuenta que los símbolos iguales ' = ' en las ecuaciones. (1) y (2) la media está representada por en lugar de ser igual a. En particular, tenga en cuenta que los números de Grassmann aún conmutan/anticonmutan con los operadores/estados en función de su paridad de Grassmann.

II) Si no hay variables de Grassmann sino solo operadores y estados fermiónicos, entonces podemos representar el espacio de Fock fermiónico como un álgebra exterior ⋀ ∙ V generado por el espacio de estados de 1 partícula

(3) V   :=   s pag a norte C { | ↑ ⟩ , | ↓ ⟩ }   ≅   C 2 .
El estado de vacío | 0 ⟩ se implementa como
(4) ⋀ 0 V   ≅   C   ≅   C | 0 ⟩ .
Los 2 operadores de creación y 2 de aniquilación generan un álgebra de Clifford C yo ( W ) ≅ C dieciséis , dónde
(5) W   :=   s pag a norte C { C ^ ↑ , C ^ ↑ † , C ^ ↓ , C ^ ↓ † }   =     s pag a norte C { γ ^ m | m = 1 , 2 , 3 , 4 }   ≅   C 4 ,
dónde
(6) γ ^ 1   =   C ^ ↑ + C ^ ↑ † , γ ^ 2   =   C ^ ↓ + C ^ ↓ † γ ^ 3   =   C ^ ↑ − C ^ ↑ † i , γ ^ 4   =   C ^ ↓ − C ^ ↓ † i ,
de modo que
(7) { γ ^ m , γ ^ v } +   =   2 d m v 1 ^ ,
cf. por ejemplo, ref. 1. Es bien sabido que el álgebra de Clifford C yo ( W ) puede ser representado por 4 × 4 Matrices de Dirac.

Referencias:

  1. MB Green, JH Schwarz y E. Witten, Teoría de supercuerdas, vol. 1, 1986; Apéndice 5.A.
Definitivamente puedes representar estos operadores fermiónicos mediante matrices, ¡lo cual es mecánica cuántica estándar! Pero no puedes hacer esto para las variables de Grassmann. Esto es lo que dije en mi respuesta.
¡Esto no responde a la pregunta, porque las variables de Grassmann siguen siendo variables de Grassmann, que no son ningún tipo de operadores y no pueden reducirse a un conjunto de números reales!
En mecánica cuántica, para representar una entidad mediante una matriz, el requisito previo es que esta entidad debe actuar en el espacio de Hilbert. Una variable de Grassmannn no es un operador cualquiera y no opera en el espacio de Hilbert. Entonces, es imposible ponerlo como una matriz.

¡No hay forma de representar las variables de Grassmann usando matrices! En realidad, este es el gran obstáculo que dificulta el uso del llamado enfoque de difusión de estado cuántico para sistemas ubicados en baños fermiónicos. Puede encontrar muchos documentos sobre esto buscando en Google este tema. Además, la variable Grassmann individual no tiene significado físico. ¡Es algo inventado principalmente para 'contabilidad' en el método integral de ruta! Hay una buena pero breve exposición en el libro de XG Wen.

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