La correspondencia entre el número de Grassmann y el 4-spinor

Una cosa a tener en cuenta es que, incluso en la formulación de la integral de trayectoria, en realidad no usamos productos de la forma$\psi_1 \cdot \psi_2$, pero de la forma$\bar{\psi}_1 \cdot \psi_2$(normalmente con$\psi_1 \equiv \psi_2$). La barra es importante ya que implica tomar la transposición (y, por lo tanto, dar un vector de fila, en lugar de una columna). Dado que, como usted señala, el producto no estaría definido de otra manera, la barra debe aparecer INDEPENDIENTEMENTE de si estamos en la cuantificación canónica o integral de ruta.

Creo que la pieza conceptual que te falta es que, incluso en la formulación de integral de ruta,$\psi$sigue siendo una entidad de 4 componentes (TIENE que serlo, si queremos que codifique el comportamiento espacio-temporal de un campo de Dirac). La forma en que se introdujo históricamente puede oscurecer este hecho, pero no hay nada inherentemente mecánico cuántico en la ecuación de Dirac. Más bien, se derivó exigiendo coherencia con la RELATIVIDAD ESPECIAL, y solo entonces, una vez derivada, se cuantizó a través de la prescripción canónica tomada de la mecánica cuántica no relavística. Uno podría verlo perfectamente como la descripción de un campo completamente clásico.$\psi$(aunque puede ser difícil encontrar un observable realizado físicamente que corresponda a un campo de valor complejo), cuya naturaleza de 4 componentes fue el resultado matemático directo de exigir una ecuación de campo LINEAL consistente con$E^2= p^2 + m^2$. Todo esto es para decir que la naturaleza espacio-temporal de$\psi$se fija ANTES de que se considere la cuantificación, por lo que ciertamente no puede depender del método de cuantificación que elijamos.

Entonces, volviendo a su pregunta general: ¿cuál es la correspondencia entre las dos imágenes? Bueno, cuando te integras$\psi$, REALMENTE está integrando sobre los 4 componentes de valor complejo de$\psi$independientemente. Las integrales a menudo se escriben de una manera que oscurece este hecho para facilitar la manipulación (particularmente porque uno rara vez, o nunca, lleva a cabo las integrales explícitamente, y más a menudo las usa formalmente, en derivaciones, donde este tipo de detalle puede ser pasado por alto), pero debe mantenerse en el fondo de la mente del lector. Incluso si se llaman NÚMEROS de Grassmann en algunos contextos, en realidad representan VECTORES de 4 componentes de números (complejos) de Grassmann. Las variables de integración, que en la cuantificación canónica se verían como operadores, en la formulación de la integral de trayectoria deben verse como números ordinarios, de modo que, por ejemplo,$\psi$y su operador de momento canónico,$\pi$, conmuta en el integrando. Básicamente, uno puede tener operadores que no conmutan actuando en un espacio de Hilbert que obedece a las ecuaciones de movimiento de Lagrange/Hamilton (imagen canónica), o variables conmutativas que están integradas sobre TODOS los valores posibles (incluso aquellos que violan las ecuaciones de movimiento-- la formulación de la integral de trayectoria). No discutiré aquí por qué esas dos imágenes son equivalentes, ya que creo que el texto que está siguiendo lo mostrará, pero diré una última cosa que toca el por qué uno debe usar variables de Grassmann.

Está relacionado con el hecho de que las partículas de Dirac son fermiones. INCLUSO EN LA IMAGEN CANÓNICA, el hecho de que los campos fermiónicos anti-conmutación se deben poner "a mano". Es decir, no es una consecuencia directa de la ecuación de Dirac. Más bien, uno encuentra que sin él, hay estados de energía negativa que harían que el vacío fuera inestable (un problema que Dirac resolvió cuando postuló un "mar" de electrones, lo que llevó a su predicción de la antimateria), y también sin la cual se violaría la causalidad (ver página 56 y sección 3.5 de Peskin y Schroeder). Entonces, para resolver estos problemas, uno postula que$\bar \psi$y$\psi$anti-conmutación. Con esta modificación, la imagen canónica procede más o menos como lo hace para los bosones (con las consecuencias de la anticonmutación como la exclusión de Pauli y el signo menos adicional que se obtiene para los bucles de fermiones en la teoría de perturbaciones). Pero también debemos dar cuenta de esta modificación en la transición a la imagen de integral de trayectoria. Esta es exactamente la razón para tomar$\psi$y$\bar \psi$ser variables de Grassmann allí. Al verlos como números ordinarios EXCEPTO que son anticonmutadores (que es lo que realmente son todas las variables de Grassmann), incorporamos las "estadísticas de espín" adecuadas en la descripción integral de trayectoria de los fermiones.

Por supuesto, como me gusta decir, sé lo suficiente de teoría de campo para hacerme peligroso, así que me disculpo de antemano si algo de lo que dije no quedó claro :) (y espero que otros den su granito de arena para aclarar lo que consideren adecuado). ¡Espero que esto haya sido útil!