Suavidad de los niveles de energía de un hamiltoniano genérico

Tomemos un hamiltoniano H ( ξ ) que depende de un conjunto de parámetros ξ , y suponga que los elementos de la matriz h i j ( ξ ) del hamiltoniano son funciones complejas suaves de los parámetros ξ (es decir, cada h i j ( ξ ) tiene derivadas continuas de cualquier orden en los parámetros ξ ). Suponga también que tales parámetros son reales ( h i j ( ξ ) son complejos en general) y cada uno de ellos puede variar en toda la línea real R , y que el hamiltoniano tiene un rango fijo norte .

Bajo estos supuestos, los valores propios mi i ( ξ ) del hamiltoniano H ( ξ ) todavía puede tener una derivada discontinua en presencia de pasos a nivel. Sin embargo, ¿siempre es posible "etiquetar" los valores propios de tal manera que todos los valores propios sean uniformes en los parámetros? (o al menos continua con derivada continua)

Si este no es el caso, ¿es al menos la energía total una función uniforme del parámetro ξ , bajo ciertas suposiciones? Se puede definir la energía total como mi T ( ξ ) = ∑ mi i < mi F mi i ( ξ ) , es decir, la suma de los niveles de energía por debajo de un cierto umbral mi F (por ejemplo, energía de Fermi en un sistema de fermiones), y suponga que mi i ( ξ ) ≠ mi F (si algún nivel de energía cruza la energía mi F es claro que la energía total puede tener una derivada discontinua).

Solo para aclarar, ¿solo te interesa la suavidad o importa la analiticidad? Si esto último, es ξ un parámetro puramente real o se permite que sea complejo? Tenga en cuenta que en el caso complejo, las etiquetas de estado propio no son asignables de forma única + continua debido a los cortes de rama, cf. Pechukas et al., Estructura analítica del problema de valores propios tal como se utiliza en la teoría semiclásica de colisiones electrónicamente inelásticas, J. Chem. física 64 , 1099 (1976) .
Los parámetros son reales pero los elementos de la matriz no lo son. Por ejemplo, un elemento de matriz puede ser a + i b dónde a y b son reales, o uno puede tener un elemento de matriz a mi i ϕ dónde a y ϕ Son reales. Creo que la suavidad será suficiente, ya que, en general, las propiedades físicas de un sistema se pueden calcular como derivadas de la energía con respecto a los parámetros.
¿Está considerando un sistema de dimensión finita o infinita? Las propiedades de suavidad son un poco más difíciles en este último.
Supongamos el caso simple, niveles de energía discretos. El rango norte de la matriz es fija. ¿Es este el caso finito, o te refieres a algo diferente?
Sí, eso es lo que quiero decir.
La respuesta aproximada es "sí", potencialmente con algunas advertencias que dependen de la situación precisa. Los espacios vectoriales de dimensión infinita son mucho más complicados, y las compensaciones entre las propiedades de suavidad/analítica son sutiles (es decir, los resultados de suavidad son más fáciles de mostrar, pero las suposiciones de analiticidad son más sólidas). Realmente no puedo hacer mucho mejor que señalarle a Kato como lo hace arnold Neumaier, pero si tiene una declaración precisa que desea verificar, entonces puedo profundizar en ella.

Respuestas (1)

Si estamos tratando con un espacio de Hilbert de dimensión finita, entonces la respuesta parece ser que siempre se puede encontrar una manera de etiquetar los valores propios de modo que todos sean diferenciables (al menos). Consulte este documento y las referencias que contiene:

A. Parusinski y A. Rainer, "Una nueva prueba del teorema de Bronshtein".

En particular, el Teorema 2.4 del documento establece que si tiene un parámetro de un C pag familia de polinomios hiperbólicos, donde pag es la multiplicidad máxima de las raíces, entonces existe un "sistema diferenciable de las raíces", es decir, una forma de etiquetar las raíces por funciones diferenciables de ξ . (Un polinomio "hiperbólico" es aquel cuyas raíces son todas reales). Dado que los valores propios son las raíces del polinomio característico de H , y estás suponiendo que las entradas de H son C ∞ en ξ , el polinomio característico también es C ∞ en ξ . Esto implica que existe un conjunto de funciones mi i ( ξ ) que es diferenciable y que son siempre iguales a los valores propios de H ( ξ ) .

De hecho, la nota de los autores sobre la ref. [7] en la pág. 1 de su artículo implica que las funciones mi i ( ξ ) también se puede elegir que sea dos veces diferenciable. Sin embargo, el artículo no dice nada sobre si el mi i ( ξ ) se puede elegir para que sea suave. Los autores señalan (cerca de la parte superior de la página 2) que se pueden sacar conclusiones más sólidas si se hacen suposiciones más sólidas, y brindan una lista de referencias; también puede intentar mirar esos documentos (desafortunadamente, no tengo acceso a ellos aquí).

(Punta del sombrero a esta respuesta de Math StackExchange por señalarme el teorema de Bronshtein).

Entonces, la hipótesis de tener una multiplicidad máxima pag de las raíces excluye el caso infinito? Si uno tiene un conjunto infinito de valores propios en un intervalo, en principio puede tener un punto singular donde uno tiene una degeneración infinita, es decir, un número infinito de niveles de energía que están degenerados y por lo tanto la multiplicidad del polinomio característico es infinita. En este caso no se puede aplicar el teorema. ¿Tengo razón?
Esa sería también mi lectura. Necesitaría probar que no tiene una degeneración infinita para ningún valor de ξ para aplicar este teorema en particular. Esto no significa necesariamente que no exista un sistema suave de raíces en tal caso, por supuesto; solo que no puedes usar este teorema para demostrarlo.
Estoy de acuerdo. De todos modos, el teorema es válido para un polinomio, y en el caso infinito (espectro continuo) la característica "polinomio" no es un polinomio en sentido estricto... así que no estoy seguro de que en el caso infinito se pueda asumir la diferenciabilidad de los valores propios simplemente excluyendo el caso de degeneración infinita...
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