Representación matricial del operador de aniquilación fermiónica

Supongo que debería ser algo como esto:

C σ = ( | 0 ⟩ ⟨ ↑ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↓↑ | ) d σ , ↑ + ( | 0 ⟩ ⟨ ↓ | + | ↑ ⟩ ⟨ ↓↑ | ) d σ , ↓

dónde d es un delta de Kronecker y estados | 0 ⟩ , | ↓ ⟩ , | ↑ ⟩ , | ↓↑ ⟩ son ortonormales.

Ahora se comporta como un operador de aniquilación.

C ↓ | 0 ⟩ = | 0 ⟩ , C ↑ | 0 ⟩ = | 0 ⟩

C ↓ | ↓ ⟩ = | 0 ⟩ , C ↑ | ↓ ⟩ = | 0 ⟩

C ↓ | ↓↑ ⟩ = | ↑ ⟩ , C ↑ | ↓↑ ⟩ = | ↓ ⟩

pero anticonmutador por ejemplo [ C ↑ , C ↓ ] + no es cero

¿Es posible definirlo así (en términos de estados básicos)?

También encontrará otro problema con [ C ↓ , C ↓ ] + . Si lo hace, considere actuar en | ↓ ⟩ con este anticonmutador. Además del problema de señal señalado por Qmechanic, tiene otra inexactitud.

Respuestas (1)

Punto principal: debe permitir la posibilidad de que aparezcan factores de signo en la definición de la representación espacial de Hilbert de operadores fermiónicos, cf. Espacio de Fock fermiónico .

Con más detalle, considere el álgebra CAR

(1) { C σ , C τ } +   =   0 , { C σ , C τ † } +   =   d σ , τ 1 , { C σ † , C τ † } +   =   0 , σ , τ ∈ { ↑ , ↓ } .

Siguiente definir

(2) C σ | 0 ⟩   :=   0 , | σ ⟩   :=   C σ † | 0 ⟩ , | σ τ ⟩   :=   C σ † | τ ⟩ , σ , τ ∈ { ↑ , ↓ } .

Nótese que estas definiciones implican que

(3) | σ τ ⟩   =   − | τ σ ⟩ , σ , τ ∈ { ↑ , ↓ } .

En particular

(4) | σ σ ⟩   =   0 , σ ∈ { ↑ , ↓ } .

Por cierto, en un comentario a la pregunta anterior , mencioné que los operadores de creación/aniquilación para diferentes campos pueden conmutar, en principio. Esto corresponde a tomar el espacio de Fock como el producto tensorial ordinario, mientras que parece que la forma natural es tomarlo como un producto tensorial graduado. Me pregunto, ¿en qué punto el producto del tensor bosónico se vuelve feo? Creo que para las proyecciones de giro está cerca de la invariancia rotacional, pero ¿qué pasa con dos campos que interactúan pero son diferentes?
Entonces, ¿debería cambiar mis estados |n>*|spin>para hacer operadores adecuados?
Actualicé la respuesta.
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