Orden de grupo de automorfismos cuando todos los elementos que no son de identidad tienen el mismo orden

Un grupo abeliano homocíclico con todos los elementos de primer orden es el caso más fácil: serían grupos de la forma$C_p^n$con$p$primo y$n\gt 0$. Estos son$n$-espacios vectoriales dimensionales sobre el campo de$p$elementos, por lo que sus automorfismos vienen dados precisamente por$\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$. Se sabe que el orden es

$$(p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n-p^{n-1})$$ lo cual se puede verificar de la siguiente manera: un automorfismo está determinado por lo que le hace a la base ordenada estándar. Hay$p^n-1$opciones de dónde enviar el primer vector (cualquier vector distinto de cero); entonces hay$p^n-p$opciones para el segundo (cualquier vector que no sea un múltiplo de la imagen del primero); entonces$p^n-p^2$opciones para el segundo (cualquier vector que no esté en el intervalo de las imágenes de los dos primeros), etc.

Pero incluso para el orden primo, el resultado es muy diferente una vez que dejas los grupos homocíclicos. El grupo no abeliano de orden$p^3$y exponente$p$(también conocido como el grupo de Heisenberg sobre$\mathbb{F}_p$), por ejemplo, tiene el mismo número de elementos de orden$p$como el grupo homocíclico$C_p^3$; pero mientras que este último tiene grupo de automorfismo de orden$(p^3-1)(p^3-p)(p^3-p^2)$, el primero es mucho más delicado: no todos los elementos del orden$p$puede ser la imagen de un generador.

El grupo puede ser descrito por la presentación.

$$\langle x,y,z\mid x^p=y^p=z^p=1, yx=xyz, xz=zx, yz=zy\rangle.$$ Cada automorfismo está completamente determinado por lo que hace para$x$y para$y$. Ahora,$x$se asignará a$x^ay^bz^c$,$y$mapas a$x^ry^sz^t$, dónde$a,b,c,r,s,t$son enteros módulo$p$, Debemos tener$as-rb\not\equiv 0\pmod{p}$, pero no hay condiciones para$c$y$t$. Eso significa que aquí obtienes un grupo que tiene orden.$(p^2-1)(p^2-p)p^2$, desde el$4$-tupla$(a,b,r,s)$debe corresponder a un invertible$2\times 2$matriz con coeficientes en$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, y los valores de$c$y$t$son gratis.

por ejemplo, para$p=3$, el grupo homocíclico$C_3^3$tendrá$26$elementos de orden$3$, y un grupo de automorfismos de orden$(3^3-1)(3^3-3)(3^3-9) = 11,232$, mientras que el grupo de Heisenberg también tiene$26$elementos de orden$3$, sino un grupo de automorfismos de orden$432$, porque toda la "acción" ocurre con dos elementos, en lugar de tres elementos linealmente independientes como en el caso homocíclico.

La situación es más delicada de lo que esperabas.

En el caso más simple, en el que caen todos sus ejemplos, a saber, grupos de forma$(\Bbb Z_p)^n$, deberías pensar en ellos como espacios vectoriales$V$sobre el campo$\Bbb F_p=\Bbb Z/p\Bbb Z$, dimensión$n$. Ahora, cualquier automorfismo de tal grupo es también un$\Bbb F_p$-automorfismo lineal, así determinado por un$n$-por-$n$matriz, que debe ser no singular.

Dejar$\{v_1,\cdots,v_n\}$ser una base de su$n$-dimensional$\Bbb F_p$-espacio. Usted envía$v_1$a cualquier elemento distinto de cero de$V$,$p^n-1$opciones Ahora envíelo$v_2$a cualquier elemento de$V$no en el lapso$\langle v_1\rangle$, de este modo$p^n-p$nuevas opciones Ahora envíelo$v_3$a cualquier elemento de$V$no en el lapso$\langle v_1,v_2\rangle$,$p^n-p^2$nuevas opciones Continúa, y verás que tienes$(p^n-1)(p^n-p^2)\cdots(p^n-p^{n-1})$posibilidades para su matriz no singular, y esa es la respuesta.