¿Cuántos grupos hay en un conjunto finito?

Digamos que la cardinalidad del conjunto S es norte = | S | .
Sabemos que hay norte norte 2 todas las operaciones binarias en ese conjunto.
Para saber cuántos grupos se pueden crear con este conjunto y con esas operaciones, no solo necesitamos saber cuántas operaciones asociativas hay en ese conjunto finito.
Pero también este conjunto y operación dada debe satisfacer axiomas específicos: clausura, asociatividad, identidad e invertibilidad.

Entonces, ¿cómo averiguar cuántos grupos diferentes se pueden crear en ese conjunto numerable finito?

¿Qué quieres saber exactamente? Esta es una pregunta muy difícil en general, aunque es posible responderla en casos específicos usando teoremas en la teoría de grupos. por ejemplo, cuando norte es primo, hay norte ⋅ ( norte − 2 ) ! grupos posibles. (Esto se deriva del hecho de que cada grupo de orden primo es cíclico, así como algunos conteos).
¡Necesito saber lo más probable en el caso general!
Esta es una pregunta muy difícil y un tema activo de investigación. Comience aquí . Los números que ve en esta lista no son exactamente lo que está preguntando, ya que no está identificando grupos isomorfos, por lo que su problema es aún más difícil.
Algunas referencias y detalles se pueden ver en las respuestas aquí . Tenga en cuenta que los enlaces a www.research.att.com/~njas/sequences/ deben actualizarse a oeis.org
Hay una entrada OEIS para la secuencia que está buscando. Empezando con norte = 1 , la secuencia es 1, 2, 3, 16, 30, 480, 840, 22080, 68040, 1088640, 3991680, etc.
@JimBelk Ah, bien. ¡Gracias!
Pero por lo general, diferentes grupos significan grupos no isomorfos.
@DerekHolt El número de grupos de orden no isomorfos norte es la primera secuencia en OEIS! oeis.org/…

Respuestas (1)

Pregunta interesante pero muy difícil; Lamentablemente, no creo que veamos una respuesta definitiva a esta pregunta. Creo que está claro, considerando la complejidad del problema, que no podemos esperar una fórmula simple para general norte . (En caso de que no lo crea, un problema que es bastante más fácil que este: hay una expresión explícita (debido a Rademacher) para el número de partición ). Lo mejor que puedo hacer es citar lo siguiente (tomado de Suzuki: Group Theory, vol. I., Grundlehren d. Math. Wiss., cap. I, §7.):ingrese la descripción de la imagen aquí

En lugar de repetir lo que dice, permítanme señalar que ese Σ norte denota el grupo simétrico en norte letras. Hay que decir que este libro está bastante avanzado, y parece que, aunque tiene unos 30 años, no se puede esperar más que algunas estimaciones (en bruto). (Incluyo las referencias que da allí a pedido).

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