Un corolario del teorema de Cayley relativo a los automorfismos

Hice una observación bastante interesante. Para un grupo finito$G$, por el teorema de Cayley, hay una incrustación natural (en realidad muchas posibles incrustaciones de este tipo, pero cualquiera de las naturales que surgen en la prueba del teorema servirá para el resto de este argumento), de$G$en el grupo simétrico$S_n$, dónde$|G|=n$. Considere el mapa de multiplicación de la izquierda ( se podría usar el mapa de la derecha en su lugar, WLOG) para$G$, y en particular, tenga en cuenta que esta es una forma de realizar explícitamente$G$como un subgrupo de los$S_n$(donde vemos$S_n$como el$\text{Sym}(G)$, el grupo de permutaciones de los elementos de$G$). Ahora considera cualquier$\sigma \in \text{Aut}(G)$. Hacemos notar que esto también puede ser considerado como una permutación de los elementos de$G$, y examina cómo se relacionan con las permutaciones dadas por el mapa de multiplicación de la izquierda. La propiedad del homomorfismo garantiza que debe conmutar con el mapa de multiplicación de la izquierda, ya que no debería importar si primero se aplica el automorfismo y luego se opera dentro del grupo, o si se hacen esas cosas en orden inverso. Además, lo contrario también es cierto, cualquier permutación en los elementos de$G$que conmuta con el mapa de multiplicación izquierdo también debe satisfacer la propiedad de homomorfismo y es, en particular, también una biyección en los elementos de$G$y por lo tanto un automorfismo. Por lo tanto, podemos describir$\text{Aut}(G)$en términos de centralizadores en$\text{Sym}(G)$de la siguiente manera (con un ligero abuso de notación):

No he encontrado esta caracterización particular antes, y parece que puede ser útil en ciertas situaciones (y podría sugerir algunas formas bastante eficientes de calcular grupos de automorfismos a través de representaciones de permutación). ¿Es esto conocido? Y si es así, ¿cuáles son algunas de sus ramificaciones?