Automorfismo grupo de producto directo de grupos

Idealmente un automorfismo$\phi$de$H\times H$se vería como$(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{smallmatrix})$, con

$$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_2) \\ \gamma(h_1)\delta(h_2) \end{pmatrix} \tag{$\circ$}$$

para algunas funciones$\alpha,\beta,\gamma,\delta:H\to H$(estamos interpretando elementos de$H^2$como vectores columna). Esto continúa con el espíritu de${\rm Aut}(\Bbb Z/p\Bbb Z\times\Bbb Z/p\Bbb Z)\cong{\rm GL}_2(\Bbb Z/p\Bbb Z)$. Si restringimos el dominio o codominio a los subgrupos$H\times 1$o$1\times H$vemos eso$\alpha,\beta,\gamma,\delta$todos deben ser endomorfismos.

De hecho, al restringir el dominio y proyectar el codominio vemos que$\alpha,\beta,\gamma,\delta$puede determinarse directamente a partir de$\phi$. Para que la matriz sea un automorfismo debemos tener

$$\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1h_2 \\ h_3h_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1 \\ h_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_2 \\ h_4 \end{pmatrix}$$

que se convierte

$$\begin{pmatrix} \alpha(h_1h_2)\beta(h_3h_4) \\ \gamma(h_1h_2)\delta(h_3h_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_3) \\ \gamma(h_1)\delta(h_3) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha(h_2)\beta(h_4) \\ \gamma(h_2)\delta(h_4) \end{pmatrix}$$

que se convierte

$$\begin{pmatrix} \alpha(h_1)\alpha(h_2)\beta(h_3)\beta(h_4) \\ \gamma(h_1)\gamma(h_2)\delta(h_3)\delta(h_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha(h_1)\beta(h_3)\alpha(h_2)\beta(h_4) \\ \gamma(h_1)\delta(h_3)\gamma(h_2)\delta(h_4) \end{pmatrix}.$$

Cancelación de rendimientos$\alpha(h_2)\beta(h_3)=\beta(h_3)\alpha(h_2)$y$\gamma(h_2)\delta(h_3)=\delta(h_3)\gamma(h_2)$para todos$h_2,h_3\in H$, que es equivalente a$[\alpha(H),\beta(H)]=[\gamma(H),\delta(H)]=1$. De hecho, estas últimas condiciones garantizan que$\phi$de hecho está dada por esta matriz. Uno comprueba que estas condiciones se mantienen desde$\alpha(H)$y$\beta(H)$son las imagenes$\phi(H\times1)$y$\phi(1\times H)$, y sabemos que$[H\times 1,1\times H]=1\times 1$que se prolonga desde$\phi$es un automorfismo (una lógica similar se aplica a$\gamma,\delta$). Dado que las condiciones se cumplen en las entradas putativas de la matriz determinadas a partir de$\phi$, Concluimos$\phi$de hecho está dada por esta matriz.

Ahora supongamos$H$es nobeliano simple.

Desde$\alpha(H)\beta(H)=H$y$[\alpha(H),\beta(H)]=1$, ambos$\alpha(H)$y$\beta(H)$son normales en$H$, y entonces$\alpha(H)$,$\beta(H)$ambos son triviales o$H$. No es posible que ambos sean triviales ya que$(h_1,h_2)\mapsto\alpha(h_1)\beta(h_2)$es sobreyectiva, ni es posible que ambos sean$H$desde$[\alpha(H),\beta(H)]=1$. Por lo tanto, uno de$\alpha,\beta$es un automorfismo y el otro es el endomorfismo trivial (que denotaré$0$). Lo mismo ocurre con$\gamma,\delta$por la misma lógica. La matriz no puede ser$(\begin{smallmatrix}\alpha & 0 \\ \beta & 0\end{smallmatrix})$o$(\begin{smallmatrix} 0 & \alpha \\ 0 & \beta \end{smallmatrix})$sin embargo, dado que estas funciones no son$1$-$1$.

En conclusión, todo automorfismo de$H^2$parece$(\begin{smallmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{smallmatrix})$o$(\begin{smallmatrix} 0 & \alpha \\ \beta & 0\end{smallmatrix})$para automorfismos$\alpha,\beta$.

Antes de continuar, quiero hablar sobre productos gratuitos, productos semidirectos y productos de corona. La mejor forma de entender intuitivamente el producto gratuito$A*B$de dos grupos$A$y$B$es el conjunto de todas las palabras formadas a partir de letras de los conjuntos subyacentes de$A$y$B$, en el entendido de que concatenar elementos de$A$(o de$B$) juntos se simplifica de acuerdo con la operación binaria original de en$A$(o desde adentro$B$). si un grupo$B$actúa sobre un grupo$A$por automorfismos, entonces el producto semidirecto denotado por$A\rtimes B$es el producto gratis$A*B$módulo las relaciones$b(a)=bab^{-1}$(es decir, conjugando$a$por$b$en el producto semidirecto equivale a aplicar$b$como un automorfismo de$a$). Dado que cada elemento del producto semidirecto parece$ab$para algunos$a\in A,b\in B$únicamente, a veces el producto semidirecto se construye a partir del conjunto$A\times B$escribiendo lo que sucede.

si un grupo$B$actúa por permutaciones en$\{1,\cdots,n\}$entonces hay una acción inducida de$B$por automorfismos en$A^n$: simplemente permuta las coordenadas de cualquier vector. Formación del producto semidirecto resultante.$A^n\rtimes B$produce el producto de la corona, denotado$A\wr B$. En particular, considere$H\wr C_2$(donde el elemento no trivial de$C_2$es el intercambio no trivial de las dos coordenadas). Cada elemento se parece a cualquiera$(h_1,h_2)$o$(h_1,h_2)\sigma$con regla de multiplicación no trivial$(h_1,h_2)\sigma(h_3,h_4)\sigma=(h_1h_4,h_2h_3)$(desde$\sigma=\sigma^{-1}$, esto esencialmente conjuga$(h_3,h_4)$por$\sigma$, que intercambia las coordenadas, y luego multiplicamos$(h_1,h_2)(h_4,h_3)$).

te dejo a ti que lo compruebes

$$\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\ 0 & \beta\end{pmatrix}\mapsto (\alpha,\beta) \qquad \begin{pmatrix}0 & {\rm id}_H \\ {\rm id}_H & 0\end{pmatrix}\mapsto (e,e)\sigma$$

define un isomorfismo${\rm Aut}(H^2)\cong {\rm Aut}(H)\wr C_2$.

Para obtener más información, consulte Automorfismos de productos directos de grupos finitos I y II . El primer artículo discute un teorema con más grupos "perpendiculares"$H$y$K$hipotético:

teorema _ Si$H$y$K$no tienen factor directo común entonces

$${\rm Aut}(H\times K)\quad \cong\quad \left\{\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} :~ \begin{matrix}\alpha\in{\rm Aut}(H) & \beta\in\hom(K,Z(H)) \\ \gamma\in\hom(H,Z(K)) & \delta\in{\rm Aut}(K)\end{matrix}\right\}.$$