Operadores lineales y sus representaciones

Actualmente estoy aprendiendo mecánica cuántica en un nivel ligeramente avanzado. ¿Tengo curiosidad en saber si hay Operadores Lineales (Mapas Lineales) en el Espacio de Hilbert (de dimensión finita) que no tienen isomorfismo con Matrices? En ese caso, ¿hay otras representaciones que podamos elegir?

No estoy seguro de lo que está preguntando, pero si está preguntando si una matriz en algún sistema de coordenadas puede dar alguna transformación lineal en un espacio vectorial, la respuesta es sí.
Pero supongo que estaba hablando de espacios vectoriales de dimensión finita. Momentum es un operador en el espacio de Hilbert de dimensión infinita continua .
Eso me pasa por no leer.
@ user35952 No, el impulso no es un operador en el espacio de Hilbert de dimensión infinita continua . El espacio de Hilbert es L 2 ( R ) , que es un espacio de Hilbert de dimensión infinita numerable . Como es separable , admite una base de Hilbert contable y todas las bases tienen la misma cardinalidad.
@V.Moretti: Lo siento, no puedo entenderlo, puedo aclarar más sobre esta separabilidad
Separable significa, para un espacio métrico, que existe un conjunto denso numerable. En un espacio de Hilbert separable equivale a decir que hay una base hilbertiana contable (y por tanto toda base H. es contable). Objetos formales como { | pag ⟩ } pag ∈ R no definen una base de Hilbert en un sentido propio.

Respuestas (1)

El espacio de operadores lineales en un norte -espacio vectorial dimensional V sobre un campo F siempre es isomorfa al espacio de norte × norte matrices sobre F .

Es bastante fácil ver que cualquier matriz es un mapa lineal de V a V -- simplemente multiplique a la izquierda la representación del vector de columna de la entrada por la matriz. Para la otra dirección, elija una base { mi ^ i } para V . Deja el k -ésima columna de una matriz METRO sea ​​la representación del vector columna de Ω ( mi ^ k ) , dónde Ω es su operador. Eso es, METRO i k = ⟨ mi ^ i | Ω mi ^ k ⟩ .

Gracias. ¿Qué pasa con la existencia de vectores base para un espacio (puede sonar estúpido, pero solo curioso), hay casos en los que no existirán?
Además, me interesa saber si existe algún grupo al que los operadores lineales en un espacio vectorial de dimensión infinita continua sean isomorfos.
@ user35952 ¡La existencia de una base para un espacio vectorial requiere el axioma de elección! proofwiki.org/wiki/Vector_Space_has_Basis
Tenga en cuenta que su primera oración es verdadera siempre que el campo del espacio vectorial sea isomorfo al campo en el que se encuentran las entradas de las matrices.
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