¿Qué significa que un estado sea una superposición de estados propios de posición?

Creo que es mejor cuando se estudia por primera vez la mecánica cuántica para dar sentido a las expresiones de una manera puramente formal. Se necesitan matemáticas sofisticadas para expresarse con rigor, y en realidad no te devuelve mucho la física.

El operador "1" hace lo que está en la lata. No hay proyección involucrada: es un operador de "no hacer nada" que toma una función de onda y le devuelve esa misma función de onda. Una resolución muy conveniente del operador "1" es$\int_{\mathbb{R}}|x \rangle\langle x|\ dx$, que debe entenderse en un sentido puramente formal, y es completamente análogo a cómo la matriz identidad puede expresarse como$[1,0]^T[1,0]+[0,1]^T[0,1]$, simplemente llevado a su extremo lógico: en lugar de que la diagonal de la matriz identidad esté etiquetada por$(1,2)$, ahora está etiquetado por$\mathbb{R}$.

No creo que sea bueno interpretar esta resolución de la identidad como cualquier declaración física sobre el mundo. Una vez que haya aceptado que tiene una función de onda$|\psi\rangle$en absoluto, puede hacer cualquier operador lineal o formalismo matemático que desee.

Si hizo una observación (para hacer una pregunta sobre física y no sobre álgebra lineal), podría encontrar el valor esperado del operador$|y\rangle\langle y|$. Esto le daría algo físico: la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en la posición$y$. Sin embargo, si encuentra el valor esperado del operador en cuestión,$\int_{\mathbb{R}}|x \rangle\langle x|\ dx$, usted obtiene$\langle\psi|\psi\rangle=1$. Esto no le da ninguna información en absoluto: una observación de la$1$El operador no hace nada.

En QM, tratamos las funciones como vectores (en el sentido de espacios vectoriales abstractos, las funciones son vectores que pertenecen a un espacio de Hilbert). En álgebra lineal 'estándar', cualquier vector$\mathbf{v}$se puede expandir en términos de una base ortonormal arbitraria$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$escribiendo$\mathbf{v} = c_1 \mathbf{e}_1 + c_2 \mathbf{e}_2 + c_3 \mathbf{e}_3$

En álgebra lineal estándar, encontramos los coeficientes tomando el producto escalar de ambos lados:$\mathbf{e}_1 \bullet \mathbf{v} = \mathbf{e}_1 \bullet (c_1 \mathbf{e}_1 + c_2 \mathbf{e}_2 + c_3 \mathbf{e}_3) = c_1$. Punteando con$\mathbf{e}_1$'saca' el coeficiente gracias a la ortonormalidad de los vectores base.

Con funciones, (usualmente) definimos el producto interno (un 'punto' generalizado) por alguna forma de integral. Por ejemplo, podríamos definir$\langle f, g \rangle = \frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x) g^*(x) dx$

Por ejemplo, en la teoría de las series de Fourier y las transformadas de Fourier, usamos las exponenciales complejas como los 'vectores base' para expandir una función arbitraria$\psi(x)$como

QM aplica la misma idea a las funciones de onda de posición: lo expresamos como una suma ponderada de funciones ortogonales, donde el$c_k$los coeficientes ahora reflejan la integral de superposición de la función de onda con las funciones propias de posición, o de manera informal, "la cantidad en que la función de onda se parece a esta función propia": las funciones propias de posición no son más significativas físicamente que sus combinaciones lineales, simplemente son matemáticamente convenientes.

Es la generalización del caso del espectro discreto:

Lo que estas dos relaciones te están diciendo es que el$|x\rangle$s o el$|\alpha_i\rangle$s forman una base completa por sí mismos y que cualquier función (de onda) puede expresarse en cualquiera de estas bases. Si las bases no están completas, son algo inútiles para expresar una función de onda porque no se pueden tener en cuenta todas las posibilidades. El álgebra lineal te permite describir vectores como algo más que simples flechas. Todo lo que sigue las leyes de los espacios vectoriales es un vector. Y sucede que las funciones siguen todas esas leyes y obtenemos mucho (no todo) del poder del álgebra lineal de forma gratuita.

El caso discreto es lo que ya has encontrado en el giro.$\frac{1}{2}$Estados de un electrón. Cuando una función de onda se expande en base al espín$\frac{1}{2}$estados entonces se dice que se expresa en el espacio espinor (espacio es una palabra elegante para todos los valores posibles de un vector).

Ahora, como nunca puede tener un valor preciso para la posición, pregunta qué significa esa base. La mejor analogía clásica que puedo ofrecerle ahora es la distribución de velocidades de Maxwell Boltzmann para un gas ideal.

Aquí, si le pregunto cuál es la probabilidad de que encuentre una molécula de gas viajando exactamente a 2,5 m/s, dirá 0. Esto se debe a que permite un número infinito de valores y elige solo un valor preciso de ellos.

Entonces, de la misma manera, si expresamos nuestra función de onda en la base de la posición, terminaremos con algún tipo de distribución. Esa distribución será la distribución de probabilidad de posición de nuestra partícula. Formalmente, la llamaremos función de onda expresada en el espacio de posiciones. E incluso cuando no pueda obtener valores precisos de la posición en sí, podrá calcular la probabilidad de ubicar la partícula en un rango.

Visitemos nuevamente el caso discreto brevemente. Para determinar la probabilidad de obtener un valor propio particular, suma todas las proyecciones que pueden darte los valores propios que te interesan. Formalmente, tendrás un estado$|\psi\rangle = \sum_i c_i |a_i\rangle$y digamos estados$j \in J$todos tienen los valores propios deseados que le interesan, entonces la probabilidad total de obtener un valor propio deseado en el conjunto$J$se encontrará aplicando las proyecciones para todos los estados propios que producen esos valores propios y sumando los coeficientes. Formalmente, el estado "colapsa" la medición posterior (proyección) para:

Y la probabilidad de estar en este estado (tal como se calculó antes de la medición) es, por lo tanto,$\sum_j |c_j|^2$.

De manera similar, en el espacio de posición la probabilidad de encontrar la partícula entre entre$x- \frac{dx}{2}$y$x+ \frac{dx}{2}$es$|x\rangle \langle x | \psi \rangle dx$. Ahora, supongamos que desea averiguar la probabilidad de que esta partícula esté en un rango$x_0 + \Delta$y$x_0 - \Delta$entonces debe sumar esta fórmula de proyección sobre ese rango (la suma es integral cuando tratamos con un cubo infinitesimal. Formalmente, esto se convierte en:

Editar: si tiene tiempo, puede encontrar muy gratificante leer los primeros tres capítulos de Hoffman y Kunze .