¿Por qué se estudian las representaciones del grupo de Lorentz en lugar de estudiar solo las representaciones del grupo de Poincaré?

No es tanto cierto que estudiemos por separado las representaciones del grupo de Poincaré y el de Lorentz como que simplemente los dos coinciden en algunos casos:

1. En el caso de que estemos interesados ​​en la representación de dimensión finita en el espacio objetivo clásico de los campos, la parte de traslación del producto semidirecto$\mathrm{P}(3,1) = \mathrm{O}(3,1)\ltimes\mathbb{R}^4$actúa trivialmente en los campos ($A_\mu(x)\mapsto A_\mu(x-a)$) y estamos meramente interesados ​​en la representación$\rho : \mathrm{SO}(3,1)\to\mathrm{GL}(V)$de la parte de Lorentz como$A_\mu(x)\mapsto \rho^\nu_\mu(\Lambda)A_\nu(\Lambda^{-1}x)$. Es decir, en este caso no hay distinción entre las representaciones de los grupos de Poincaré y Lorentz.

   En particular, esto significa que la "invariancia bajo el grupo de Poincaré" para una teoría de campo Lagrangiana no es una demanda más fuerte que la "invariancia bajo el grupo de Lorentz".

   En esencia, lo que estoy diciendo aquí es que cuando tienes una función de espacio-tiempo (un campo), el comportamiento bajo traducción ya está fijado por la forma natural en que dicha función se transforma bajo traducción, sin importar de dónde tome valores: traducir un La función con valores vectoriales no hace nada a los valores vectoriales, solo los cambia. Sin embargo, una transformación de Lorentz también rota los vectores en cada punto. Por lo tanto, no es trivial determinar cómo se transforman exactamente los vectores, pero la parte del grupo de Poincaré que son solo traducciones actúa sobre todas esas funciones de la misma manera trivial: no hace nada con los valores, solo cambia el punto. en el que se toman los valores.

2. En el caso de la mecánica cuántica donde estamos interesados ​​en representaciones proyectivas, estamos buscando representaciones unitarias irreducibles de la cubierta universal$\bar{P}(3,1) = \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})\ltimes\mathbb{R}^4$del componente de identidad del grupo de Poincaré en el espacio de estados de dimensión infinita , no en el espacio objetivo de campos de dimensión finita. Ahora bien, la teoría de las representaciones inducidas desarrollada por Mackey dice que para$G\ltimes H$con abeliano$H$debemos encontrar las órbitas de la acción natural de$G$en$H$. Entonces, toda representación irreductible de$G\ltimes H$se obtiene eligiendo una órbita, eligiendo una representación irreducible unitaria del subgrupo estabilizador de esa órbita y un carácter unitario$\chi:\mathbb{R}^4\to\mathbb{C}$.

   Ahora, si uno traduce esto al "lenguaje de la física", uno arregla$\chi = 1$y reconoce que los "estabilizadores de las órbitas" no son más que los pequeños grupos de Wigner tal como se emplean en la clasificación de Wigner .

   En este caso, la parte de traducción no actúa de manera trivial porque no actúa sobre funciones de espacio-tiempo, sino sobre estados cuánticos abstractos que no tienen una "dependencia" clara de la posición, por lo que no podemos simplemente cambiar su argumento en cuanto a los campos. Aquí, el requisito crucial es que la representación del grupo de Poincaré sea unitaria/proyectiva, y esto conduce a un comportamiento de transformación no trivial bajo las traducciones.

Suele haber mucha confusión sobre en cuál de los dos casos nos encontramos en una situación dada en la teoría cuántica de campos. Esto se debe a que QFT mezcla inherentemente ambas situaciones por el axioma de Wightman que exige que la representación (de Lorentz)$\rho_\text{fin}$en el espacio objetivo clásico de los campos es compatible con la representación$\mathrm{U}$en el espacio de estados de Hilbert de la mecánica cuántica tal que