Operadores de creación/aniquilación y exponenciales positivos/negativos

Sí, es bastante simple mostrar esto. El punto es que un operador de creación para un campo libre siempre aumenta la energía, mientras que un operador de aniquilación disminuye la energía. A partir de ahí, el razonamiento es idéntico al caso simple del oscilador armónico. La ecuación de Heisenberg es

$$\frac{d}{dt} a^\dagger = \frac{i}{\hbar} [H, a^\dagger] = \frac{i \omega}{\hbar} a^\dagger, \quad a^\dagger(t) = e^{i \omega t / \hbar} a^\dagger(0).$$ Suponiendo el estándar $(+---)$firma, esta dependencia va con $e^{ipx}$, por lo que el coeficiente de un operador de creación debe ser $e^{ipx}$.

Creo que entendí dónde estaba mi error, lo edité.
Anticipo que esto no es una convención, tiene que ser así.
yo uso la notación$x^{\mu} = (t,\vec{x}) = x$.
Al transferir las propiedades de los corchetes de Poisson a los conmutadores (es decir, cuantificar), se tiene que las reglas de conmutación de tiempo igual entre los operadores de campo y los momentos conjugados$\pi = \partial_{0} \phi^{\dagger}$y$\pi^{\dagger} = \partial_{0} \phi$son:

$$[\phi(x) , \pi(y)]_{t} = [\phi^{\dagger}(x) , \pi^{\dagger}(y)]_{t} = i \delta^{3} (x - y) (1)$$ Los otros conmutadores son todos cero y aquí, el subíndice $t$, significa que los conmutadores tienen el mismo tiempo calculado.
La forma correcta de escribir los campos y los momentos conjugados es solo: $$\phi(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}}\left(a(p) e^{-ipx} + b^{\dagger} (p) e^{ipx} \right) (2)$$ $$\phi^{\dagger}(x) = \frac{1}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}}\left(a^{\dagger}(p) e^{+ipx} + b (p) e^{-ipx} \right) (3)$$ $$\pi^{\dagger}(x) = \partial_{0} \phi(x)=\frac{-i}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}} \omega_{p} \left( a(p) e^{-ipx} - b^{\dagger} (p) e^{ipx} \right) (4)$$ $$\pi(x) = \partial_{0} \phi^{\dagger}(x)=\frac{-i}{(2\pi)^{3}} \int \frac{d^{3}p}{\sqrt{2 \omega_{p}}} \omega_{p} \left( -a^{\dagger}(p) e^{ipx} + b(p) e^{-ipx} \right) (5)$$ A partir de estas expresiones puede obtener los dos tipos de operadores (tenga en cuenta que hasta ahora no los estoy llamando operadores de "creación" y "aniquilación") en términos de los campos y los momentos conjugados: $$a(p)= \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(i \pi^{\dagger} (x) + \omega_{p} \phi(x)\right) e^{ipx}$$ $$a^{\dagger}(p)= \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(-i \pi(x) + \omega_{p} \phi^{\dagger}(x)\right) e^{-ipx}$$ $$b(p)= \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(i \pi(x) + \omega_{p} \phi^{\dagger}(x)\right) e^{ipx}$$ $$b^{\dagger}(p) = \int \frac{d^{3} x}{\sqrt{2\omega_{p}}}\left(-i \pi^{\dagger} (x) + \omega_{p} \phi(x)\right) e^{-ipx}$$ Con las expresiones anteriores, se pueden calcular los conmutadores entre los operadores $a$y $b$(y su daga), descubriendo que los únicos conmutadores distintos de cero en el espacio de momento son: $$\boxed{[a(k),a^{\dagger}(p)]_{t}=[b(k),b^{\dagger}(p)]_{t} = \delta^{3} (k-p)}$$ El punto es que solo ahora , mirando la relación encuadrada arriba, puedes identificar $a$, ( $a^{\dagger}$), $b$,( $b^{\dagger}$) como operadores de aniquilación (creación), se refieren a dos familias diferentes de osciladores armónicos. Simplemente porque las relaciones encuadradas son precisamente las conocidas del oscilador armónico.
Al final, la única forma de obtener las relaciones encuadradas y, por lo tanto, la única forma de identificar la naturaleza de creación y aniquilación de los operadores, es construir su teoría de campos con la definición de los campos y los momentos conjugados (2),( 3), (4), (5). Si inviertes el signo de las exponenciales, no encontrarás las relaciones encuadradas, por lo que no puedes hablar de operadores de creación y aniquilación.