¿Es posible construir un operador de creación bosónico puro en QFT escalar?

Question

¿Es posible construir un operador de creación bosónico puro en QFT escalar?

Física
espacio de hilbert
Transformada de Fourier
segunda cuantización
teoría cuántica de campos

Sean E. Lago

En un campo de Klein-Gordon con densidad lagrangiana

L = \frac{1}{2} [{\dot{ϕ}}^{2} - (\nabla ϕ)^{2} - {metro}^{2} ϕ^{2}]

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[\dot{\phi}^2 - (\nabla\phi)^2 - m^2\phi^2\right]$ el hamiltoniano está dado por

\begin{aligned} H & = \int d^{d - 1} X \frac{1}{2} [π^{2} (X) + (\nabla ϕ (X))^{2} + {metro}^{2} ϕ^{2} (X)] \\ = \int d^{d - 1} k \frac{1}{2} [{\tilde{π}}_{+}^{2} (k) + (k^{2} + {metro}^{2}) {\tilde{ϕ}}_{+}^{2} (k) + {\tilde{π}}_{-}^{2} (k) + (k^{2} + {metro}^{2}) {\tilde{ϕ}}_{-}^{2} (k)] \end{aligned}

$\begin{align} H &= \int\operatorname{d}^{d-1}x\,\frac{1}{2}\left[\pi^2(\mathbf{x}) + (\nabla \phi(\mathbf{x}))^2 + m^2\phi^2(\mathbf{x})\right]\\ & = \int\operatorname{d}^{d-1}k\, \frac{1}{2}\left[\tilde{\pi}_+^2(\mathbf{k}) + (k^2+m^2)\tilde{\phi}_+^2(\mathbf{k}) + \tilde{\pi}_-^2(\mathbf{k}) + (k^2+m^2)\tilde{\phi}_-^2(\mathbf{k})\right] \end{align}$ dónde

{\tilde{f}}_{+} (k) \equiv \int \frac{d^{d - 1} k}{(2 π)^{(d - 1) / 2}} \cos (k \cdot x) f (x)

$\tilde{f}_{+}(\mathbf{k}) \equiv \int \frac{\operatorname{d}^{d-1}k}{(2\pi)^{(d-1)/2}} \cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x})\, f(\mathbf{x})$ es la transformada del coseno de

f

$f$ (la parte real de la transformada de Fourier, simétrica bajo paridad), y

{\tilde{f}}_{-} (k)

$\tilde{f}_{-}(\mathbf{k})$ es la transformada sinusoidal (la parte imaginaria de la transformada de Fourier, antisimétrica bajo paridad). Las relaciones de conmutación canónicas (igual tiempo) vienen dadas por:

\begin{aligned} [{\tilde{ϕ}}_{pag} (k), {\tilde{ϕ}}_{{pag}^{'}} (k^{'})] & = 0, \\ [{\tilde{π}}_{pag} (k), {\tilde{π}}_{{pag}^{'}} (k^{'})] & = 0, a norte d \\ [{\tilde{ϕ}}_{pag} (k), {\tilde{π}}_{{pag}^{'}} (k^{'})] & = i d_{pag {pag}^{'}} d^{d - 1} (k - k^{'}) . \end{aligned}

$\begin{align} \left[\tilde{\phi}_p(\mathbf{k}),\, \tilde{\phi}_{p'}(\mathbf{k}')\right] & = 0, \\ \left[\tilde{\pi}_p(\mathbf{k}),\, \tilde{\pi}_{p'}(\mathbf{k}')\right] & = 0,\ \mathrm{and} \\ \left[\tilde{\phi}_p(\mathbf{k}),\, \tilde{\pi}_{p'}(\mathbf{k}')\right] & = i\delta_{pp'}\,\delta^{d-1}\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right). \end{align}$ Si definimos los operadores de escalera de la forma habitual,

a_{pag} (k) = {\tilde{ϕ}}_{pag} (k) \frac{\sqrt[4]{k^{2} + {metro}^{2}}}{\sqrt{2}} + i {\tilde{π}}_{pag} (k) \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt[4]{k^{2} + {metro}^{2}}},

$a_p(\mathbf{k}) = \tilde{\phi}_p(\mathbf{k})\frac{\sqrt[4]{k^2+m^2}}{\sqrt{2}} + i\tilde{\pi}_p(\mathbf{k}) \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt[4]{k^2+m^2}},$ Las relaciones se vuelven

\begin{aligned} H - H_{0} & = \sum_{pag \in {+, -}} \int d^{d - 1} k \sqrt{k^{2} + {metro}^{2}} a_{pag}^{†} (k) a_{pag} (k) \\ [a_{pag} (k), a_{{pag}^{'}}^{†} (k^{'})] & = d_{pag {pag}^{'}} d^{d - 1} (k - k^{'}) \\ {\tilde{ϕ}}_{pag} (k) & = \frac{a_{pag} (k) + a_{pag}^{†} (k)}{\sqrt{2} \sqrt[4]{k^{2} + {metro}^{2}}} \\ {\tilde{π}}_{pag} (k) & = \frac{a_{pag} (k) - a_{pag}^{†} (k)}{\sqrt{2}} \sqrt[4]{k^{2} + {metro}^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} H-H_0 & = \sum_{p\in\{+,-\}}\int \operatorname{d}^{d-1}k\,\sqrt{k^2+m^2}\, a_p^\dagger(\mathbf{k})\, a_p(\mathbf{k}) \\ \left[a_p(\mathbf{k}),\, a_{p'}^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\right] & = \delta_{pp'}\,\delta^{d-1}\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right) \\ \tilde{\phi}_p(\mathbf{k}) & = \frac{a_p(\mathbf{k}) + a_p^\dagger(\mathbf{k})}{\sqrt{2}\,\sqrt[4]{k^2+m^2}} \\ \tilde{\pi}_p(\mathbf{k}) & = \frac{a_p(\mathbf{k}) - a_{p}^\dagger(\mathbf{k})}{\sqrt{2}}\sqrt[4]{k^2+m^2}, \end{align}$ dónde

H_{0}

$H_0$ contiene la energía divergente del punto cero.

La forma de $H$ conduce inmediatamente al operador de número total de partículas

norte \equiv \sum_{pag \in {+, -}} \int d^{d - 1} k a_{pag}^{†} (k) a_{pag} (k) .

$N \equiv \sum_{p\in\{+,-\}}\int \operatorname{d}^{d-1}k \, a_p^\dagger(\mathbf{k})\,a_p(\mathbf{k}).$

En este formalismo $a_p^\dagger(\mathbf{k})$ se llama el operador de creación porque para un estado propio de $N$ aumenta el número de partículas con la paridad $p$ y el impulso $\mathbf{k}$ por $1$ , y $a_p(\mathbf{k})$ la aniquilación por razones similares. Eso no es todo lo que hacen, por supuesto. Cuando actúan sobre los estados propios de la densidad del número de partículas, estropean la normalización. Sin embargo, si el estado no es un estado propio de densidad numérica, altera el estado por completo porque la escala es diferente para los estados de diferente número de partículas.

En el caso de $d=1$ , el oscilador armónico simple, es sencillo construir un operador de creación que conserve la normalización en cualquier estado. Dos alternativas son:

\begin{aligned} A_{pag}^{†} (k) & = \frac{1}{\sqrt{{norte}_{pag}}} a_{pag}^{†}, o r \\ A_{pag}^{†} (k) & = a_{pag}^{†} \frac{1}{\sqrt{{norte}_{pag} + 1}} . \end{aligned}

$\begin{align} A_p^\dagger(\mathbf{k}) & = \frac{1}{\sqrt{N_p}} a_p^\dagger,\ \mathrm{or} \\ A_p^\dagger(\mathbf{k}) & = a_p^\dagger \frac{1}{\sqrt{N_p+1}}. \end{align}$ ¿Cómo generalizo la idea de un operador de creación "puro" a una teoría de campo cuántico continuo? Idealmente, satisfaría algo como

\begin{aligned} | F, ψ ⟩ & = \sum_{pag \in {+, -}} \int d^{d - 1} k {\tilde{F}}_{pag} (k) A_{pag}^{†} (k) | ψ ⟩ \\ ⟨ F, ψ | F, ψ ⟩ & = 1 \end{aligned}

$\begin{align} |f,\psi\rangle & = \sum_{p\in\{+,-\}}\int \operatorname{d}^{d-1}k\, \tilde{f}_p(\mathbf{k})\, A_p^\dagger(\mathbf{k})\,|\psi\rangle\\ \langle f,\psi|f,\psi\rangle & = 1 \end{align}$ mientras

\sum_{pag \in {+, -}} \int d^{d - 1} k {\tilde{F}}_{pag}^{2} (k) = 1,

$\sum_{p\in \{+,-\}} \int \operatorname{d}^{d-1}k\ \tilde{f}_p^2(\mathbf{k}) = 1,$ de modo que podría usarse para construir conjuntos arbitrarios de estados de partículas múltiples de una manera sencilla.

Sean E. Lago

La razón para usar transformadas de seno/coseno en lugar de Fourier: de esta manera, los operadores de campo de espacio modal son hermitianos. El uso de la transformada regular de Fourier habría producido operadores que tienen que satisfacer

{\tilde{ϕ}}^{†} (k) = \tilde{ϕ} (- k)

$\tilde{\phi}^\dagger (\mathbf{k}) = \tilde{\phi}(-\mathbf{k})$ , que no es tan obviamente hermitiano.

Respuestas (1)

¿Es posible construir un operador de creación bosónico puro en QFT escalar?

La razón para usar transformadas de seno/coseno en lugar de Fourier: de esta manera, los operadores de campo de espacio modal son hermitianos. El uso de la transformada regular de Fourier habría producido operadores que tienen que satisfacer $\tilde{\phi}^\dagger (\mathbf{k}) = \tilde{\phi}(-\mathbf{k})$ , que no es tan obviamente hermitiano.

Sean E. Lago · Answer 1

He estado trabajando en esto desde entonces, y la respuesta que se me ha ocurrido es un no calificado. La calificación es que puede construir un operador que aumente el número de partículas y mantenga la normalización, pero no mantiene esa propiedad cuando se superpone. Una excepción es cuando el estado en el que se opera es un estado propio del operador de número de partículas.

El razonamiento es este. Construimos una QFT como un número infinito de $d=1$ osciladores armónicos simples basados en una cuadrícula espacial de momento $\mathbf{k}_i$ . En lugar de usar transformadas de seno y coseno y separar por paridad, es más fácil usar una transformada de Hartley multidimensional

\tilde{ϕ} (k) \equiv \int \frac{d^{d - 1} X}{(2 π)^{(d - 1) / 2}} ϕ (X) \sqrt{2} porque (k \cdot X - \frac{π}{4}),

$\tilde{\phi}(\mathbf{k}) \equiv \int \frac{\mathrm{d}^{d-1}x}{(2\pi)^{(d-1)/2}} \phi(\mathbf{x})\,\sqrt{2}\cos\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\frac{\pi}{4}\right),$ lo que básicamente es decir

\tilde{ϕ} \equiv {\tilde{ϕ}}_{+} + {\tilde{ϕ}}_{-}

$\tilde{\phi}\equiv\tilde{\phi}_++\tilde{\phi}_-$ .

En esta cuadrícula, el hamiltoniano se convierte en

H = \sum_{i} \sqrt{{metro}^{2} + k_{i}^{2}} a_{i}^{†} a_{i} .

$H = \sum_i \sqrt{m^2+k_i^2}\, a^\dagger_i\,a_i .$ En cada sitio podemos definir un operador de creación pura como

A_{i}^{†} \equiv \sqrt{{[a_{i}^{†} a_{i}]}^{+}} a_{i}^{†}

$A_i^\dagger \equiv \sqrt{\left[a_i^\dagger a_i\right]^+}\,a_i^\dagger$ dónde

{[a_{i}^{†} a_{i}]}^{+}

$\left[a_i^\dagger a_i\right]^+$ es la pseudoinversa de Moore-Penrose de

[a_{i}^{†} a_{i}]

$\left[a_i^\dagger a_i\right]$ (básicamente invertir los valores propios distintos de cero). Estos operadores tienen las propiedades

\begin{aligned} A_{i} A_{j}^{†} & = d_{i j} + (1 - d_{i j}) A_{j}^{†} A_{i} \\ A_{i}^{†} A_{j} & = d_{i j} Π_{\bar{0}, i} + (1 - d_{i j}) A_{j} A_{i}^{†}, \end{aligned}

$\begin{align} A_iA_j^\dagger &= \delta_{ij}+(1-\delta_{ij}) A_j^\dagger A_i \\ A_i^\dagger A_j &= \delta_{ij} \Pi_{\bar{0},i} + (1-\delta_{ij})A_jA_i^\dagger, \end{align}$ dónde

Π_{\bar{0}, i}

$\Pi_{\bar{0},i}$ es el operador de proyección sobre el complemento del estado fundamental del

i^{t h}

$i^{\mathrm{th}}$ sitio.

Para hacer la transición al límite de campo continuo, hacemos las sustituciones $a_i\rightarrow a(\mathbf{k})\sqrt{\mathrm{d}^3k}$ y $A_i\rightarrow A(\mathbf{k})\sqrt{\mathrm{d}^3k}$ , lo que da

\begin{aligned} A (k) A^{†} (k^{'}) & = d (k - k^{'}) + 1_{k \neq k^{'}} A^{†} (k^{'}) A (k) \\ A^{†} (k) A (k^{'}) & = d (k - k^{'}) Π_{\bar{0}} (k) + 1_{k \neq k^{'}} A (k^{'}) A^{†} (k) \end{aligned}

$\begin{align} A(\mathbf{k})\,A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right) &= \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right)+1_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\, A(\mathbf{k}) \\ A^\dagger(\mathbf{k})\, A\left(\mathbf{k}'\right) &= \delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right) \Pi_{\bar{0}}(\mathbf{k}) + 1_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} A\left(\mathbf{k}'\right)\, A^\dagger(\mathbf{k}) \end{align}$

Las identidades anteriores son suficientes para mostrar que si

\begin{aligned} | F, ψ ⟩ & \equiv \int d^{d - 1} k \tilde{F} (k) A^{†} (k) | ψ ⟩, t h mi norte \\ ⟨ F, ψ | F, ψ ⟩ & = \int d^{d - 1} k d^{d - 1} k^{'} {\tilde{F}}^{*} (k) \tilde{F} (k^{'}) ⟨ ψ | A (k) A^{†} (k^{'}) | ψ ⟩ \\ = \int d^{d - 1} k d^{d - 1} k^{'} {\tilde{F}}^{*} (k) \tilde{F} (k^{'}) ⟨ ψ | d (k - k^{'}) + 1_{k \neq k^{'}} A^{†} (k^{'}) A (k) | ψ ⟩ \\ (1) & = \int d^{d - 1} k F^{*} (k) F (k) + \int_{k \neq k^{'}} d^{d - 1} k d^{d - 1} k^{'} {\tilde{F}}^{*} (k) \tilde{F} (k^{'}) ⟨ ψ | A^{†} (k^{'}) A (k) | ψ ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} |f,\psi\rangle &\equiv \int \mathrm{d}^{d-1}k\, \tilde{f}(\mathbf{k})\, A^\dagger(\mathbf{k})\,|\psi\rangle,\ \mathrm{then} \\ \langle f,\psi|f,\psi\rangle & =\int \mathrm{d}^{d-1}k\,\mathrm{d}^{d-1}k'\, \tilde{f}^*(\mathbf{k})\, \tilde{f}\left(\mathbf{k}'\right)\, \langle\psi|A(\mathbf{k})\,A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)|\psi\rangle \\ &= \int \mathrm{d}^{d-1}k\,\mathrm{d}^{d-1}k'\, \tilde{f}^*(\mathbf{k})\, \tilde{f}\left(\mathbf{k}'\right)\, \langle\psi|\delta\left(\mathbf{k}-\mathbf{k}'\right)+1_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\, A(\mathbf{k})|\psi\rangle \\ &= \int \mathrm{d}^{d-1}k\, f^*(\mathbf{k})\,f(\mathbf{k}) + \int_{\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'} \mathrm{d}^{d-1}k\,\mathrm{d}^{d-1}k'\, \tilde{f}^*(\mathbf{k})\, \tilde{f}\left(\mathbf{k}'\right)\, \langle\psi| A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\, A(\mathbf{k})|\psi\rangle. \tag1 \end{align}$ Las condiciones necesarias para que el operador de creación mantenga la normalización son que el segundo término en (1) desaparezca y que el primer término sea

1

$1$ . Las formas para que desaparezca el segundo término en (1) incluyen:

$|\psi\rangle$ siendo un estado propio del operador de número total de partículas,
$f(\mathbf{k})$ estar concentrado en un solo valor de $\mathbf{k}$ , y
el apoyo de $f^*(\mathbf{k})\,f\left(\mathbf{k}'\right)$ no superponerse con el apoyo de $\langle\psi|A^\dagger\left(\mathbf{k}'\right)\,A(\mathbf{k})|\psi\rangle$ para $\mathbf{k}\neq\mathbf{k}'$ .

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