Cuantización del campo de Klein-Gordon (qué es el operador de creación allí y qué aniquilación)

Recientemente en mi clase estudiamos la cuantización de campos y estoy pensando en un argumento/motivación sobre la construcción de la cuantización del campo de Klein-Gordon. Recuerde que el campo de Klein-Gordon "clásico" es una solución de la ecuación de Klein Gordon y se ve como

$$\phi(\vec{x},t) = \int c \cdot d^3p\left[a(\vec{p})\mathrm{e}^{+i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt)} + b(\vec{p})\mathrm{e}^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt))}\right]$$

dónde$c$es una constante de normalización apropiada y$a(\vec{p})$y$b(\vec{p})$son coeficientes con respecto a la expansión con respecto a la base del vector propio del hamiltoniano. Cuando cuantificamos el$a(\vec{p})$y$b(\vec{p})$convertirse en operadores$\hat{a}(\vec{p})$y$\hat{b}(\vec{p})$en

$$\hat{\phi}(\vec{x},t) = \int c \cdot d^3p\left[\hat{a}(\vec{p})\mathrm{e}^{+i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt)} + \hat{b}^(\vec{p})\mathrm{e}^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt))}\right]$$

y en la conferencia llamamos$\hat{a}(\vec{p})$el operador "creación" y$\hat{b}(\vec{p})$el operador de "aniquilación". Pero ¿por qué no al revés? no entiendo porque$\hat{a}(\vec{p})$ahora es la creación y$\hat{b}(\vec{p})$aniquilación. Entonces, ¿por qué la creación corresponde a la exponencia con signo negativo y al aniquilamiento con signo positivo y no al revés?

Como una "razón" o, digamos, una motivación, mi profesor lo explicó de la siguiente manera:

Si consideramos un proceso con estado inicial descrito por función de onda$\phi_i e^{-iE_it}$y estado final descrito por la función de onda$\phi_f e^{-iE_ft}$y queremos calcular la amplitud de probabilidad entonces cuando integramos sobre$\int_{-\infty}^{+\infty} dt \int d^3 \vec{x}$el integrando viene dado por

$$(\phi_f e^{-iE_if})^* \hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it} = (\phi_f)^* e^{+iE_if}) \hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it}$$

Entonces, la exponencial del estado final es conjugada compleja. Esto "contiene" moralmente la razón por la cual el operador creación corresponde a exponente con signo negativo y aniquilación con signo positivo. Por supuesto, como agregó el disertante, eso no es una prueba formal sino una motivación de por qué esta elección podría ser "razonable".

Desafortunadamente, no fui lo suficientemente inteligente como para comprender por qué esta observación elemental sobre el integrando que esbocé anteriormente brinda la pista de por qué el operador de creación corresponde a la exponencia con signo negativo y la aniquilación con signo positivo y no al revés. Creo que el ingrediente esencial para resolver el problema es entender si$\phi_i e^{-iE_it}$es un estado inicial arbitrario, entonces ¿cuál es

$$\hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it}~?$$

Suponga que el estado inicial es$|0\rangle$. Qué es$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle$? mi esperanza es$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$ya que la bien conocida relación entre los vectores propios de momento y los operadores de lugar da$\langle p | |\vec{x} \rangle = e^{-i px}$. Así que si$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$entonces de hecho podemos concluir que$\hat{a}(\vec{p})$es el operador de creación con$\hat{a}(\vec{p}) |0\rangle= |p \rangle$. Pero para esto necesitamos verificar que$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$es cierto, pero eso no está claro para mí.

¿Alguien tiene una idea de lo que mi profesor posiblemente tenía en mente al hacer este boceto y cómo esta observación proporciona una pista/motivación de por qué en la cuantización del campo de Klein-Gordon los operadores de creación y aniquilación se eligieron de esa manera y no a la inversa? No tengo idea de cómo este boceto justifica la elección.

En physics.stackexchange encontré un par de preguntas relacionadas con problemas similares como aquí , aquí o aquí . La motivación de mi pregunta es principalmente entender por qué el boceto de mi profesor que traté de reproducir arriba da una "razón" o al menos una "pista" que responde a mi problema.