Expresiones explícitas para los operadores de creación y aniquilación

Question

Expresiones explícitas para los operadores de creación y aniquilación

Física
operadores
Transformada de Fourier
segunda cuantización
teoría cuántica de campos
deberes-y-ejercicios

Fosheimdet

¿Cuáles son las expresiones explícitas para los operadores de creación y aniquilación? $\hat{a_\vec p}$ y $\hat{a}^{\dagger}_\vec p$ para bosones? No puedo encontrarlos en ninguna parte, ya que cada fuente parece introducirlos al cuantificar los campos.

ϕ (\vec{X}) = \int \frac{d ³ pag}{(2 π) ³} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{\vec{pag}}}} (\hat{a_{\vec{pag}}} {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}} + {\hat{a}}_{\vec{pag}}^{†} {mi}^{- i \vec{pag} \cdot \vec{X}})

$\phi(\vec x) = \int \frac{d³p}{(2\pi)³} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\vec p}}} \left( \hat{a_\vec p} e^{i\vec p \cdot \vec x} + \hat{a}^{\dagger}_\vec p e^{-i\vec p \cdot \vec x}\right)$

π (\vec{X}) = \int \frac{d ³ pag}{(2 π) ³} (- i) \sqrt{\frac{ω_{\vec{pag}}}{2}} (\hat{a_{\vec{pag}}} {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}} - {\hat{a}}_{\vec{pag}}^{†} {mi}^{- i \vec{pag} \cdot \vec{X}})

$\pi(\vec x) = \int \frac{d³p}{(2\pi)³} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\vec p}}{2}} \left( \hat{a_\vec p} e^{i\vec p \cdot \vec x} - \hat{a}^{\dagger}_\vec p e^{-i\vec p \cdot \vec x}\right)$

Sin dar una expresión explícita para ellos. Me gustaría saber, porque, por ejemplo, calcular el hamiltoniano para el campo de Klein-Gordon requiere que sepa qué efecto tiene cambiar el signo del impulso, es decir, qué $\hat{a}_{-\vec{p}}$ y $\hat{a}^\dagger_{-\vec{p}}$ son.

knzhou

¿No son esas ecuaciones por sí mismas una definición de

a_{p}

$a_p$ ? Puede invertir la transformada de Fourier si lo desea aún más explícito.

knzhou

La interpretación de

a_{k}^{†}

$a_{k}^\dagger$ para cualquier

k

$k$ es que crea una partícula de momento

k

$k$ . Entonces automáticamente sabes qué

a_{- p}^{†}

$a_{-p}^\dagger$ lo hace, crea una partícula de impulso

- p

$-p$ .

usuario226006

Probablemente hayas visto esto: en.wikipedia.org/wiki/… pero vale la pena leerlo, especialmente. en cuanto a las relaciones de conmutación, versus fermiones (anti-conmutación), que creo que podría verse como parte de su definición.

Respuestas (1)

Expresiones explícitas para los operadores de creación y aniquilación

¿No son esas ecuaciones por sí mismas una definición de $a_p$ ? Puede invertir la transformada de Fourier si lo desea aún más explícito.
La interpretación de $a_{k}^\dagger$ para cualquier $k$ es que crea una partícula de momento $k$ . Entonces automáticamente sabes qué $a_{-p}^\dagger$ lo hace, crea una partícula de impulso $-p$ .
Probablemente hayas visto esto: en.wikipedia.org/wiki/… pero vale la pena leerlo, especialmente. en cuanto a las relaciones de conmutación, versus fermiones (anti-conmutación), que creo que podría verse como parte de su definición.

Elias Riedel Gårding · Answer 1

Tenga en cuenta que también puede escribir $\phi$ y $\pi$ como

ϕ (\vec{X}) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{\vec{pag}}}} (a_{\vec{pag}} + a_{- \vec{pag}}^{†}) {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}}

$\phi(\vec{x}) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\vec{p}}}} \left(a_\vec{p} + a_{-\vec{p}}^\dagger \right) e^{i\vec{p} \cdot \vec{x}}$

π (\vec{X}) = \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} (- i) \sqrt{\frac{ω_{\vec{pag}}}{2}} (a_{\vec{pag}} - a_{- \vec{pag}}^{†}) {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}}

$\pi(\vec{x}) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\vec{p}}}{2}} \left(a_\vec{p} - a_{-\vec{p}}^\dagger \right) e^{i\vec{p} \cdot \vec{x}}$ (ecuaciones (2.27) y (2.28) en Peskin y Schroeder). Desde aquí, puede tomar la transformada de Fourier para obtener

a_{\vec{pag}} + a_{- \vec{pag}}^{†} = \sqrt{2 ω_{\vec{pag}}} \int d^{3} X ϕ (\vec{X}) {mi}^{- i \vec{pag} \cdot \vec{X}}

$a_\vec{p} + a_{-\vec{p}}^\dagger = \sqrt{2\omega_{\vec{p}}} \int d^3 x\, \phi(\vec{x}) e^{-i\vec{p} \cdot \vec{x}}$

a_{\vec{pag}} - a_{- \vec{pag}}^{†} = i \sqrt{\frac{2}{ω_{\vec{pag}}}} \int d^{3} X π (\vec{X}) {mi}^{- i \vec{pag} \cdot \vec{X}}

$a_\vec{p} - a_{-\vec{p}}^\dagger = i\sqrt{\frac{2}{\omega_{\vec{p}}}} \int d^3 x\, \pi(\vec{x}) e^{-i\vec{p} \cdot \vec{x}}$ y sumando estos da

a_{\vec{pag}} = \int d^{3} X (\sqrt{\frac{ω_{\vec{pag}}}{2}} ϕ (\vec{X}) + \frac{i}{\sqrt{2 ω_{\vec{pag}}}} π (\vec{X})) {mi}^{- i \vec{pag} \cdot \vec{X}}

$a_\vec{p} = \int d^3 x \left(\sqrt{\frac{\omega_\vec{p}}{2}} \phi(\vec{x}) + \frac{i}{\sqrt{2\omega_\vec{p}}} \pi(\vec{x}) \right) e^{-i\vec{p} \cdot \vec{x}}$ y luego, por conjugación hermítica,

a_{\vec{pag}}^{†} = \int d^{3} X (\sqrt{\frac{ω_{\vec{pag}}}{2}} ϕ (\vec{X}) - \frac{i}{\sqrt{2 ω_{\vec{pag}}}} π (\vec{X})) {mi}^{i \vec{pag} \cdot \vec{X}} .

$a_\vec{p}^\dagger = \int d^3 x \left(\sqrt{\frac{\omega_\vec{p}}{2}} \phi(\vec{x}) - \frac{i}{\sqrt{2\omega_\vec{p}}} \pi(\vec{x}) \right) e^{i\vec{p} \cdot \vec{x}}.$

Usando estas ecuaciones, puedes verificar explícitamente la relación de conmutación $[a_\vec{p}, a_\vec{q}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q})$ . En la práctica, parece que rara vez necesita las expresiones explícitas para los operadores de escalera; recordar la relación de conmutación suele ser suficiente.

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Fosheimdet

knzhou

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usuario226006

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Elias Riedel Gårding

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