Relación entre la transformada de Fourier y el Espacio de Fock

Question

Relación entre la transformada de Fourier y el Espacio de Fock

Física
espacio de hilbert
Transformada de Fourier
segunda cuantización
física-matemática
teoría cuántica de campos

Oro

Primero considere el campo clásico de Klein-Gordon. la ecuacion es $(\Box +m^2)\phi = 0$ que al usar la transformada de Fourier se vuelve (aquí denoto la transformada de Fourier con la $\hat{}$ como siempre.

(\partial_{t}^{2} + ω_{k}^{2}) \hat{ϕ} = 0

$(\partial_t^2+\omega_{k}^2)\hat{\phi}=0$

esta ecuación tiene solución (con la condición de realidad impuesta)

\hat{ϕ} (k, t) = a_{k} {mi}^{- i ω_{k} t} + a_{k}^{*} {mi}^{i ω t}

$\hat{\phi}(\mathbf{k},t)=a_{\mathbf{k}}e^{-i\omega_k t}+a_\mathbf{k}^\ast e^{i\omega t}$

que a su vez termina dando la solución general

ϕ (X, t) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ω_{k}}} (a_{k} {mi}^{- i k_{m} X^{m}} + a_{- k}^{*} {mi}^{k_{m} X^{m}})

$\phi(\mathbf{x},t)=\int \dfrac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_k}}(a_\mathbf{k}e^{-ik_\mu x^\mu}+a_{-\mathbf{k}}^\ast e^{k_\mu x^\mu})$

No hay nada lujoso aquí. Es el método estándar para resolver una ecuación diferencial con transformada de Fourier.

Ahora, al cuantificar el campo, la forma natural de levantar esta expresión es

ϕ (X, t) = \int \frac{d^{3} k}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ω_{k}}} (a_{k} {mi}^{- i k_{m} X^{m}} + a_{- k}^{†} {mi}^{k_{m} X^{m}})

$\phi(\mathbf{x},t)=\int \dfrac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_k}}(a_\mathbf{k}e^{-ik_\mu x^\mu}+a_{-\mathbf{k}}^\dagger e^{k_\mu x^\mu})$

que nuevamente es solo la transformada de Fourier de los operadores.

Ahora viene mi pregunta: en cierto modo podemos deducir de esto que las relaciones canónicas de conmutación para $\phi$ son equivalentes a las relaciones de conmutación para el $a_\mathbf{k}$ ser $[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{k'}}^\dagger]=(2\pi)^3\delta(\mathbf{k}-\mathbf{k}')$ y esto es bastante sencillo.

El problema que tengo es: uno puede simplemente presentar una forma de construir todo esto, que es el espacio Fock. Si uno define el espacio de Fock, viene naturalmente con un par de operadores $a$ y $a^\dagger$ que obedece exactamente a esas relaciones de conmutación y puede usarse para definir los campos.

En este enfoque, uno conoce de antemano la solución (usar el espacio de Fock) y simplemente trabaja con él. Primero se considera que se construyen los operadores de creación y aniquilación, así como el espacio de Fock, y luego se definen los campos cuánticos.

Lo que quiero saber es cómo se llega a esta conclusión, para usar el espacio de Fock. Parece que siempre que se expande un operador en una transformada de Fourier, los coeficientes de la transformada de Fourier son operadores de creación y aniquilación en un espacio de Fock. Incluso he dicho que algunas personas dicen que "es obvio por la expansión $\phi(x,t)$ que los coeficientes de Fourier son operadores de creación y aniquilación en un espacio de Fock".

¿Cuál es entonces realmente la relación entre la transformada de Fourier y el espacio de Fock? ¿Por qué "es obvio" que al expandir un operador en modos de Fourier, los coeficientes de Fourier son operadores de creación/aniquilación en un determinado espacio de Fock? ¿Cómo se llega al espacio de Fock por la transformada de Fourier?

salvatore baldino

No sé lo suficiente para responder, pero tal vez pueda sugerirte la teoría cuántica de campos de Weinberg, donde adopta el enfoque que sugieres: primero define los estados de las partículas, el espacio de Fock, y luego procede a relacionar los operadores de creación y destrucción ( que vienen naturalmente en un espacio Fock) a campos físicos.

Cosmas Zachos

Una teoría de campo clásica se resuelve en modos normales de osciladores a través de la transformación de Fourier. Dada una matriz infinita de osciladores clásicos desacoplados, puede cuantificar cada uno y empaquetarlos todos en el espacio de Fock. Puede, o no, volver a transformarse en coordenadas, para comparar/contrastar con campos clásicos en el espacio de coordenadas. Hay otros esquemas de cuantificación, pero es posible que pierda el hilo, a menos que interiorice por completo esta estructura de funtores.

Respuestas (2)

Relación entre la transformada de Fourier y el Espacio de Fock

No sé lo suficiente para responder, pero tal vez pueda sugerirte la teoría cuántica de campos de Weinberg, donde adopta el enfoque que sugieres: primero define los estados de las partículas, el espacio de Fock, y luego procede a relacionar los operadores de creación y destrucción ( que vienen naturalmente en un espacio Fock) a campos físicos.
Una teoría de campo clásica se resuelve en modos normales de osciladores a través de la transformación de Fourier. Dada una matriz infinita de osciladores clásicos desacoplados, puede cuantificar cada uno y empaquetarlos todos en el espacio de Fock. Puede, o no, volver a transformarse en coordenadas, para comparar/contrastar con campos clásicos en el espacio de coordenadas. Hay otros esquemas de cuantificación, pero es posible que pierda el hilo, a menos que interiorice por completo esta estructura de funtores.

gautampk · Answer 1

Este fue (es) uno de mis mayores problemas mientras aprendía QFT. El razonamiento detrás del uso de un espacio de Fock es realmente simple e intuitivo para un campo escalar (siempre que se sienta cómodo con QM estándar), pero siempre está enmascarado por el horrible concepto de 'cuantificación canónica'.

Tome la transformada de Fourier de la ecuación de Klein-Gordon:

\partial_{t}^{2} \hat{ϕ} = - ω_{k}^{2} \hat{ϕ}

$\partial_t^2\hat{\phi} = -\omega_{k}^2\hat{\phi}$

esta es la ecuación clásica de movimiento para un oscilador armónico. Hay uno de estos para cada impulso posible (esto corresponde a $\phi$ siendo un campo sobre el espacio transformándose en $\hat{\phi}$ que es un campo sobre cantidad de movimiento).

Es más difícil transformar el Lagrangiano (ya que incluye términos como $\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2$ ), pero se puede suponer que describe de manera similar $\hat{\phi}$ como un espectro infinito de osciladores armónicos. Dado esto, es razonable suponer que el Lagrangiano/Hamiltoniano cuántico para $\hat{\phi}$ corresponde igualmente a un espectro infinito de osciladores armónicos cuánticos. Esto lo hacemos conocer la forma de:

H = \int \frac{d^{3} pag}{2 {mi}_{pag}} a_{pag}^{†} a_{pag},

$H = \int \frac{d^{3}p}{2E_{p}}a_{p}^{\dagger}a_{p},$

donde eliminé la energía del punto cero porque se puede (corresponde a reordenar los campos, que es una ambigüedad que existe al ir al caso cuántico sin conmutación del caso clásico con conmutación) y evita los problemas habituales de energía infinita .

Ahora solo afirmamos que $\phi$ tiene el mismo lagrangiano cuántico que en el caso clásico y que el hamiltoniano anterior es la transformada de Fourier (de la transformada de Legendre) del lagrangiano. Si trabaja, encontrará que obtiene la forma canónica del campo. David Tong hace esto en la página 24 de sus notas , aunque lo hace proponiendo esencialmente la forma canónica como un ansatz.

Luego, solo usa su conjunto infinito de operadores de aniquilación y creación que surgieron naturalmente para generar el conjunto infinito de estados numéricos QHO (uno para cada impulso). Esto es idéntico al espacio de Fock generado por el operador de cantidad de movimiento, por lo que simplemente lo trata como un espacio de Fock.

tostadora · Answer 2

La transformada de Fourier del campo produce operadores de creación/aniquilación que crean una partícula con un momento dado. Por ejemplo, también puede definir operadores de creación/aniquilación en el espacio de posición simplemente a través de

a_{X} = \frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ (X) + i π (X)) y a_{X}^{†} = \frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ (X) - i π (X))

$a_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi(x) + i \pi(x))\text{ and }a_x^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi(x) - i \pi(x))$ que cumplen

[a_{x}, a_{y}^{†}] = δ (x - y)

$[a_x,a_y^\dagger] = \delta(x-y)$ (puede escalarlos por

\sqrt{2 π}

$\sqrt{2\pi}$ si quieres).

Ahora puedes escribir

ϕ (X) = \int d^{3} X {tu}_{X} a_{X} + {tu}_{X}^{*} a_{X}^{†}

$\phi(x) = \int \mathrm d^3x\,u_xa_x + u_x^*a_x^\dagger$ donde el

u_{x}

$u_x$ son las soluciones que son un pico delta en

t = 0

$t=0$ .

Entonces básicamente puedes transformar el campo de Fourier $\phi(x)$ y obtenga los operadores de creación/aniquilación para los modos de momento.

Relación entre la transformada de Fourier y el Espacio de Fock

Oro

salvatore baldino

Cosmas Zachos

Respuestas (2)

gautampk

tostadora

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