Teorema de la divergencia en coordenadas complejas

Dejar$\sigma^1$y$\sigma^2$ser coordenadas reales en$\mathbb R^2$. Usando los resultados en la página 33, encontramos que

$$\begin{align} \partial_zv^z &= \frac{1}{2}(\partial_1 -i\partial_2)(v^1 + iv^2) = \frac{1}{2}(\partial_1v^1 + i\partial_1v^2 - i\partial_2v^1 + \partial_2v^2) \\ \partial_{\bar z}v^{\bar z} &= \frac{1}{2}(\partial_1 +i\partial_2)(v^1 - iv^2) = \frac{1}{2}(\partial_1v^1 - i\partial_1v^2 + i\partial_2v^1 + \partial_2v^2) \end{align}$$ y por lo tanto utilizando $d^2z = dz\,d\bar z = 2 d\sigma^1d\sigma^2$ $$\begin{align} \int_R d^2z\,(\partial_zv^z + \partial_{\bar z}v^{\bar z}) &= 2\int_R d\sigma^1\,d\sigma^2\,(\partial_1v^1 + \partial_2v^2) \end{align}$$ Del mismo modo, para el lado derecho tenemos $$\begin{align} v^zd\bar z &= (v^1 + iv^2)(d\sigma^1 - id\sigma^2) = v^1d\sigma^1 - iv^1d\sigma^2 + iv^2d\sigma^1 +v^2d\sigma^2 \\ v^{\bar z}dz &= (v^1 - iv^2)(d\sigma^1 + id\sigma^2) = v^1d\sigma^1 + iv^1d\sigma^2 + -iv^2d\sigma^1 +v^2d\sigma^2 \end{align}$$ de modo que $$\begin{align} i\oint_{\partial R} v^z d\bar z - v^{\bar z} d z &= i\oint_{\partial R} 2i(v^2d\sigma^1 - v^1 d\sigma^2) = 2\oint_{\partial R} (v^1 d\sigma^2 -v^2d\sigma^1) \end{align}$$ La identidad en Polchinski se obtiene igualando los lados izquierdo y derecho, lo que, en este caso, da $$\begin{align} \int_R d\sigma^1\,d\sigma^2\,(\partial_1v^1 + \partial_2v^2) &=\oint_{\partial R} (v^1 d\sigma^2 -v^2d\sigma^1) \end{align}$$ que es precisamente el teorema de Stokes para una región en $\mathbb R^2$.